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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Mo 05.05.2008 | | Autor: | jiwe |
| Aufgabe 1 | | Ein Fenster von der Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis hat den Umfang U. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit die Fläche möglichst groß wird? |
| Aufgabe 2 | | Ein offener Kanal ha einen rechteckigen Querschnitt. Welche Form muss das Rechteck bei konstantem Flächeninhalt haben, damit die Betonierungsarbeit möglichst geringe Kosten verursachen? Die Kosten werden proportional zu der zu betonierenden Fläche angesetzt. |
Hallo, ich brauch dringend Hilfe. Habe die letzten beiden Schulwochen wegen Krankheit verpasst. Für unser neues Thema Extremwertprobleme hab ich kein Ansatz. Vielleicht Kann mir jemand die beiden Aufgaben als Beispiele vorrechnen, so dass ich mich da rein fuchsen kann. wäre super. danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo, lese mal bitte hier nach, die Aufgabe wurde bereits mehrfach besprochen, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Mo 05.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nenn die Tiefe des Kanales mal t, die Breite b.
Da er oben Offen ist, müssen nur der Boden und 2 Seitenwände gegossen werden.
Also eine Strecke der Länge
s(t,b)=2t+b
Jetzt soll der Querschnitt einen bestimmten Flächeininhalt haben, nennen wir ihn A.
Dieser ist ein Rechteck, also gilt: A=t*b
Diese Nebenbedingung kannst du jetzt nach einer Variablen auflösen, nehmen wir [mm] b=\bruch{A}{t}
[/mm]
Das jetzt in s eingesetzt, ergibt:
[mm] s(t)=2t+\bruch{A}{t}=2t+At^{-1}
[/mm]
Und hiervon suchst du jetzt das Minimum, also einen Tiefpunkt - mit den bekannten Kriterien s'(t)=0 und s''(t)>0
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 06.05.2008 | | Autor: | jiwe |
okay zu aufgabe 2. soweit hab ich das alles gut nachvollziehen können. jetztz hab ich die gleichung u= 2a + [mm] \bruch{A}{a}. [/mm] Wie kann ich jetzt daraus das minimum finden?
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Hallo, der 1. Schritt ist immer die 1. Ableitung:
[mm] u'=2-\bruch{A}{a^{2}}
[/mm]
den nächsten Schritt kennst du,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 07.05.2008 | | Autor: | jiwe |
okay die ableitung setz ich dann =0 und forme nach a um. dann kommt da [mm] \wurzel{2-A} [/mm] raus. dann weiß ich das an der stelle ein extremum liegen muss????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> okay die ableitung setz ich dann =0 und forme nach a um.
> dann kommt da [mm]\wurzel{2-A}[/mm] raus. dann weiß ich das an der
> stelle ein extremum liegen muss????
Fast. Erstens bekommst du zwei mögliche "a's", und du hast dich verrechnet
[mm] 0=2-\bruch{A}{a²}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{A}{a²}=2
[/mm]
[mm] \gdw A=2a^{2}
[/mm]
[mm] \gdw a²=\bruch{A}{2}
[/mm]
[mm] \gdw a=\pm\wurzel{\bruch{A}{2}}
[/mm]
Und jetzt muss [mm] u''(\wurzel{\bruch{A}{2}})>0 [/mm] sein, um einen Tiefpunkt [mm] (\wurzel{\bruch{A}{2}};u(\wurzel{\bruch{A}{2}})) [/mm] zu erhalten.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 08.05.2008 | | Autor: | jiwe |
achso klar hab mein rechenfehler beim ableiten gefunden . wenn man jetzt weiß, dass u" [mm] (\wurzel{A/2} [/mm] > 0 sein muss,damit es ein Tiefpunkt ist, wäre die aufgabe gelöst, da man A nur als allgemeinen Flächeninhalt benutzt ?
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Hallo,
du solltest aber auch die 2. Ableitung bilden [mm] u''=\bruch{2A}{a^{3}} [/mm] streng genommen hast du ja nach der 1. Ableizung [mm] a=\pm\wurzel{\bruch{A}{2}} [/mm] geometrisch sinnvol ist aber nur [mm] a=\wurzel{\bruch{A}{2}} [/mm] und es gilt [mm] u''(\wurzel{\bruch{A}{2}}) [/mm] > 0, somit hast du ein Minimum,
Steffi
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