F: P2 nach R2 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 24.02.2016 | | Autor: | colradec |
| Aufgabe | F: [mm] \mathbb{P}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 [/mm] eine lineare Abbildung definiert durch F(a + bt + [mm] ct^2) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a - c \\ a + b + c \end{pmatrix} [/mm]
Welches der folgendenden Polynome liegt in Kern(F)?
a) 1 + [mm] t^2 [/mm] b) 1 - 2t + [mm] t^2 [/mm] c) t + [mm] t^2
[/mm]
Welcher der folgenden Vektoren liegt in Bild(F)?
a) [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} [/mm] b) [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix} [/mm] c) [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2\end{pmatrix} [/mm]
Man beschreibe Kern(F) und Bild(F) jeweils durch die Angabe einer Basis |
Hallihalo liebe Leute,
Ich bin grad ein wenig am Verzweifeln, weil ich die Abbildungen einfach nicht verstehe (F: [mm] \mathbb{R}^x \rightarrow \mathbb{R}^x [/mm] geht ja noch), nach unzähligen Stunden habe ich gedacht, vielleicht könntet ihr mir da ein wenig weiterhelfen mit den Polynomen.
Also zu der Aufgabe welche der folgenden Polynome in Kern(F) liegen, habe ich so versucht:
1 + [mm] t^2 \mapsto \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ 1 + 0 + 1 \end{pmatrix} \not= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] liegt also nicht in in Kern(F)
und das eben mit allen Vektoren, und wie es aussieht, ist keiner davon in Kern(F)
bei der nächsten Aufgabe bin ich mir da schon nicht mehr so sicher:
dazu habe ich z.B. bei a) [mm] \begin{pmatrix} a - c \\ a + b + c \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] gesetzt und bin dann nach lösen des LGS zu a = c, b = -2a a,c [mm] \in \IR [/mm] (alle drei Vektoren sind demnach im Bild(F))
Ist das so möglich?
Beim 3. Unterpunkt habe ich dann so meine Schwierigkeiten:
Ich habe folgendes Probiert:
F(a + bt + [mm] ct^2) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a - c \\ a b c \end{pmatrix} [/mm] also [mm] \begin{pmatrix} c - c \\ c -2c + c \end{pmatrix} [/mm] also ist Kern(F) = [mm] {t^2} [/mm] da ja immer das Vielfache von c in Ordnung geht und in Bild(F) liegt, oder?
Beim Bild(F) hatte ich absolut keine Ahnung
Ich wusste aber nicht, wie ich was einsetzen soll
F(1) = (a) F(t) = (b) [mm] F(t^2) [/mm] = (c)..
Ich denke, ich habe hier einfach ein riesiges Verständnisproblem bezüglich Kern(F) und Bild(F), daher weiß ich nicht wie ich mit den Koeffizienten hantieren soll und wie da ein [mm] \IR^2 [/mm] rauskommen soll..
Ich wäre wirklich um jede Hilfe/Tipp dankbar :)
Liebe Grüße
Luggi
Edith: Kleinigkeiten in Angabe geändert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 24.02.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo colradec!
Bitte überprüfe die Aufgabenstellung.
Vermutlich soll [mm] $\IP^2$ [/mm] den Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$ bezeichnen?
Soll die Abbildung vielleicht F: [mm]\mathbb{P}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2[/mm] mit F(a + bt + [mm]ct^2)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} a- c \\ a+b+c \end{pmatrix}[/mm] lauten?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mi 24.02.2016 | | Autor: | colradec |
ist natürlich richtig, hab ich vorher mit Rev1 bereits ausgebessert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Mi 24.02.2016 | | Autor: | tobit09 |
> ist natürlich richtig, hab ich vorher mit Rev1 bereits
> ausgebessert.
Vergleiche nochmals die von dir angegebene Abbildungsvorschrift mit der von mir in meiner ersten Mitteilung gemutmaßten. Die beiden stimmen nicht überein.
In deinem Ausgangspost scheinst du die ganze Zeit mit einer falschen bzw. unsinnigen Abbildungsvorschrift zu arbeiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mi 24.02.2016 | | Autor: | colradec |
Ui peinlich, da hab ich ein wenig schleißig drübergelesen.
Sollte ich ausgebessert haben. War ein wenig zu auf Matrizen fokussiert :D
Gerechnet habe ich natürlich mit [mm] \begin{pmatrix} a - c \\ a + b + c \end{pmatrix}
[/mm]
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> F: [mm]\mathbb{P}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2[/mm] eine lineare
> Abbildung definiert durch F(a + bt + [mm]ct^2)[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} a - c \\ a + b + c \end{pmatrix}[/mm]
>
> Welches der folgendenden Polynome liegt in Kern(F)?
> a) 1 + [mm]t^2[/mm] b) 1 - 2t + [mm]t^2[/mm] c) t + [mm]t^2[/mm]
>
> Welcher der folgenden Vektoren liegt in Bild(F)?
> a) [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm] b) [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
> c) [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2\end{pmatrix}[/mm]
>
> Man beschreibe Kern(F) und Bild(F) jeweils durch die Angabe
> einer Basis
>
>
> Hallihalo liebe Leute,
>
> Ich bin grad ein wenig am Verzweifeln, weil ich die
> Abbildungen einfach nicht verstehe (F: [mm]\mathbb{R}^x \rightarrow \mathbb{R}^x[/mm]
> geht ja noch), nach unzähligen Stunden habe ich gedacht,
> vielleicht könntet ihr mir da ein wenig weiterhelfen mit
> den Polynomen.
Hallo,
>
> Also zu der Aufgabe welche der folgenden Polynome in
> Kern(F) liegen, habe ich so versucht:
>
> 1 + [mm]t^2 \mapsto \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ 1 + 0 + 1 \end{pmatrix}
=\vektor{0\\2}
> \not= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> liegt also nicht in in Kern(F)
Genau.
>
> und das eben mit allen Vektoren,
Ja.
> und wie es aussieht, ist
> keiner davon in Kern(F)
Doch. Eins der Polynome ist im Kern.
>
> bei der nächsten Aufgabe bin ich mir da schon nicht mehr
> so sicher:
>
> dazu habe ich z.B. bei a) [mm]\begin{pmatrix} a - c \\ a + b + c \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] gesetzt und bin dann
> nach lösen des LGS zu a = c, b = -2a
Okay. Du weißt also, daß für jede Wahl von a das Polynom der Machart [mm] a-2at+at^2 [/mm] auf den Vektor [mm] \vektor{0\\0} [/mm] abgebildet wird.
Es ist z.B. [mm] F(5-10t+5t^2)=\vektor{5-5\\5-10+5}=\vektor{0\\0}.
[/mm]
Auf den Vektor [mm] \vektor{0\\0} [/mm] wird ein Polynom abgebildet, also ist [mm] \vektor{0\\0} [/mm] im Bild von F.
Entsprechend mußt Du die beiden anderen Vektoren auch untersuchen.
> a,c [mm]\in \IR[/mm] (alle
> drei Vektoren sind demnach im Bild(F))
> Ist das so möglich?
Ja, alle drei sind im Bild.
Natürlich ist das möglich.
Siehst Du einen Hinderungsgrund?
>
> Beim 3. Unterpunkt habe ich dann so meine Schwierigkeiten:
Es ist [mm] F(a+bt+ct^2)=\vektor{a-c\\a+b+c}=a*\vektor{1\\1}+b*\vektor{0\\1}+c*\vektor{-1\\1}.
[/mm]
[mm] (\vektor{1\\1},\vektor{0\\1},\vektor{-1\\1}) [/mm] ist ein Erzeugendensystem des Bildes.
Wenn Du aus diesem eine maximale linear unabhängige Teilmenge herausfindest, hast Du eine Basis des Bildes.
Zum Kern:
Du hattest ja schon herausgefunden, daß im Kern alle Polynome der Bauart [mm] a-2at+at^2 [/mm] sind, also alle Polynome der Gestalt
[mm] a-2at+at^2=a*(1-2t+t^2).
[/mm]
Damit ist [mm] 1-2t+t^2 [/mm] eine Basis des Kerns.
LG Angela
>
> Ich habe folgendes Probiert:
>
> F(a + bt + [mm]ct^2)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} a - c \\ a b c \end{pmatrix}[/mm]
> also [mm]\begin{pmatrix} c - c \\ c -2c + c \end{pmatrix}[/mm] also
> ist Kern(F) = [mm]{t^2}[/mm] da ja immer das Vielfache von c in
> Ordnung geht und in Bild(F) liegt, oder?
>
> Beim Bild(F) hatte ich absolut keine Ahnung
>
> Ich wusste aber nicht, wie ich was einsetzen soll
>
> F(1) = (a) F(t) = (b) [mm]F(t^2)[/mm] = (c)..
>
>
> Ich denke, ich habe hier einfach ein riesiges
> Verständnisproblem bezüglich Kern(F) und Bild(F), daher
> weiß ich nicht wie ich mit den Koeffizienten hantieren
> soll und wie da ein [mm]\IR^2[/mm] rauskommen soll..
>
> Ich wäre wirklich um jede Hilfe/Tipp dankbar :)
>
> Liebe Grüße
> Luggi
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> Edith: Kleinigkeiten in Angabe geändert
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