F nicht Monoton < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 So 21.10.2012 | | Autor: | Sanjii18 |
| Aufgabe | | Formulieren Sie präzise, wann eine Funktion f: [a,b]--->R nicht monoton ist. Aus Ihrer Formulierung soll für einen Schüler klar ersichtlich sein, was er tun muss, um in einem konkreten Fall eine Funktion f als nicht monoton auszuweisen. |
Kann mir da jemand weiter helfen ich komm da auf keine Lösung wann eine Funktion f nicht monoton ist bzw. ich weis das sie bei z.B. Betrag x bei 0 nicht monoton ist oder bei 1/x bei 0 aber wie soll ich des Formulieren.
Ich hab darüber gegoogelt und hab nichts gefunden.
und,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 So 21.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Sanjii18,
ich glaube mal, dass Du da nicht sehr intensiv gegoogelt hast. Betrachtungen zum rechts- und linksseitigen Grenzwert helfen hier weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 So 21.10.2012 | | Autor: | Sanjii18 |
Ja da hast du recht an des hab ich garnicht gedacht.
nur ich hab auch noch angegeben das
f monoton ist wenn, f monoton steigend oder monoton fallend
und monoton steigend und fallend sind wiederum angegeben
mit u und v aus dem intervall [a,b] mit u<v
für die steigung mit f(u) <= f(v) und
für fallend mit f(u) >= f(v)
und ich bin so vorgegangen das ich erst alles verneint hab dann folgt nämlich
das f nicht monoton ist wenn f nicht monoton steigend und f nicht monoton fallend
und wie kann ich da jetzt des mit den grenzfallbetrachtung reinbringen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 So 21.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
es geht hier ja augenscheinlich nicht um einen Beweis, sondern um eine Formulierung, nach der ein Schüler nachvollziehen kann, was er tun muss,um den Verdacht auf eine Nicht-Monotonie zu erhärten oder zu widerlegen.
Wie wäre es mit: Innerhalb des Definitionsbereiches einer Funktion wähle ich mir einen Punkt [mm] x_0 [/mm]. Stimmen der rechts- und der linkseitige Grenzwert der Funktion bei der Annäherung an diesen Punkt [mm] x_0 [/mm] nicht überein, so ist die Funktion an dieser Stelle nicht monoton.
Ich weiss nicht, was Du in diesem Umfeld voraussetzen darfst, aber eine Erklärung in dieser Art halte ich für recht verständlich und auch nachvollziehbar.
Viele Grüße,
Infinit
P.S.: Diese Beschreibung geht mehr in Richtung Stetigkeit, da muss ich Marcel rechtgeben.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:35 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> es geht hier ja augenscheinlich nicht um einen Beweis,
> sondern um eine Formulierung, nach der ein Schüler
> nachvollziehen kann, was er tun muss,um den Verdacht auf
> eine Nicht-Monotonie zu erhärten oder zu widerlegen.
>
> Wie wäre es mit: Innerhalb des Definitionsbereiches einer
> Funktion wähle ich mir einen Punkt [mm]x_0 [/mm]. Stimmen der
> rechts- und der linkseitige Grenzwert der Funktion bei der
> Annäherung an diesen Punkt [mm]x_0[/mm] nicht überein, so ist die
> Funktion an dieser Stelle nicht monoton.
> Ich weiss nicht, was Du in diesem Umfeld voraussetzen
> darfst, aber eine Erklärung in dieser Art halte ich für
> recht verständlich und auch nachvollziehbar.
ich verstehe schon gar nicht, warum Du hier mit Grenzwerten
argumentieren willst. Aber Deine Behauptung ist falsch - das, was Du
schreibst, hätte doch eher was mit Stetigkeit zu tun...:
Setze für [mm] $I_-:=(-\infty,0]$ [/mm] und [mm] $I_+:=(0,\infty)$ [/mm] die Funktion
$f: [mm] I_1 \cup I_2 \to \IR$
[/mm]
fest durch
[mm] $$f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für }x \in I_- \\ 2x+1, & \mbox{für } x \in I_+ \end{cases}\,.$$
[/mm]
Die Funktion ist streng monoton wachsend auf [mm] $\IR\,,$ [/mm] aber an der
Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] stimmt der linksseitige Grenzwert [mm] $0\,$ [/mm] nicht mit dem
rechtsseitigen [mm] $1\,$ [/mm] überein!
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 13:10 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Infinit,
> Hallo,
> es geht hier ja augenscheinlich nicht um einen Beweis,
> sondern um eine Formulierung, nach der ein Schüler
> nachvollziehen kann, was er tun muss,um den Verdacht auf
> eine Nicht-Monotonie zu erhärten oder zu widerlegen.
>
> Wie wäre es mit: Innerhalb des Definitionsbereiches einer
> Funktion wähle ich mir einen Punkt [mm]x_0 [/mm]. Stimmen der
> rechts- und der linkseitige Grenzwert der Funktion bei der
> Annäherung an diesen Punkt [mm]x_0[/mm] nicht überein, so ist die
> Funktion an dieser Stelle nicht monoton.
> Ich weiss nicht, was Du in diesem Umfeld voraussetzen
> darfst, aber eine Erklärung in dieser Art halte ich für
> recht verständlich und auch nachvollziehbar.
>
> Viele Grüße,
> Infinit
>
> P.S.: Diese Beschreibung geht mehr in Richtung Stetigkeit,
> da muss ich Marcel rechtgeben.
Deine "Korrektur" im P.S. ist eigentlich noch nicht vollständig. Ich sag's mal
so, ich ahne, was Du meinst, aber da passen Grenzwertbetrachtungen
nicht wirklich in's Spiel. Du solltest halt eher davon reden, dass es einen
Punkt [mm] $x_0$ [/mm] so gibt, dass "gewisse Steigungen" des Graphen, die man
sich angucken kann, mit unterschiedlichem Vorzeichen existieren. Das, was
Du meinst, ist eher sowas:
Man nimmt den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] und findet einen Punkt [mm] $x_0\,,$ [/mm] der
hoffentlich irgendwie geeignet dazu ist, die Monotonie von [mm] $f\,$ [/mm] zu
widerlegen. Man zeichnet den Graphen, markiert sich den Punkt [mm] $(x_0,f(x_0))\,$ [/mm] des Graphen.
Jetzt geht man nach links von [mm] $x_0$ [/mm] und betrachtet für $x < [mm] x_0$ [/mm] die
Punkte [mm] $(x,f(x))\,$ [/mm] des Graphen und analog rechts von [mm] $x_0$ [/mm] betrachtet
man also für $z > [mm] x_0$ [/mm] die Punkte [mm] $(z,f(z))\,$ [/mm] des Graphen.
Schüler sollen sich nun die beiden Geraden "skizzieren":
Die erste Gerade [mm] $g_1=g_1(x,x_0)=g_1(x,x_0;f) \subseteq \IR^2$ [/mm] geht durch
[mm] $(x,f(x))\,$ [/mm] und [mm] $(x_0,f(x_0))$ [/mm] (sie ist damit eindeutig bestimmt) und die
zweite [mm] $g_2=g_2(x_0,z)=g_2(x_0,z;f) \subseteq \IR^2$ [/mm] durch [mm] $(x_0,f(x_0))$ [/mm] und [mm] $(z,f(z))\,.$
[/mm]
Nun soll man ein bisschen mit den $x [mm] \in [a,x_0)$ [/mm] und $z [mm] \in (x_0,b]$
[/mm]
"rumspielen", bis man zwei Geraden gefunden hat, deren Steigungen
beide nicht verschwinden und zudem echt verschiedene Vorzeichen haben!
Dass Du da irgendwie an "Grenzwertbetrachtung" gedacht hast, erkläre ich
mir vielleicht so, dass Du mit [mm] $x=a\,$ [/mm] und $z=b$ starten willst und dann
[mm] $x\,$ [/mm] monoton wachsend auf [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $z\,$ [/mm] monoton fallend auf [mm] $x_0$
[/mm]
zulaufen lassen willst - aber dabei nicht notwendig "beide beliebig nahe"
an [mm] $x_0$ [/mm] laufen läßt - wie man es bei Stetigkeit oder der Definition der
Ableitung über den Differenzenquotienten tun würde - sondern "das
Zulaufen von $x [mm] \to x_0$ [/mm] bzw. $z [mm] \to x_0$ [/mm] an geeigneten Stellen
abbrechnen würdest".
Du denkst Dir das also sicher irgendwie "algorithmisch" - aber Deine
Abbruchbedingung musst Du klarer formulieren!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Formulieren Sie präzise, wann eine Funktion f: [a,b]--->R
> nicht monoton ist. Aus Ihrer Formulierung soll für einen
> Schüler klar ersichtlich sein, was er tun muss, um in
> einem konkreten Fall eine Funktion f als nicht monoton
> auszuweisen.
> Kann mir da jemand weiter helfen ich komm da auf keine
> Lösung wann eine Funktion f nicht monoton ist bzw. ich
> weis das sie bei z.B. Betrag x bei 0 nicht monoton ist oder
> bei 1/x bei 0 aber wie soll ich des Formulieren.
die Funktion [mm] $f(x)=1/x\,$ [/mm] ist auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] nicht monoton.
Ebenso ist [mm] $f(x)=|x|\,$ [/mm] nicht monoton. Was Du oben ansprichst wäre
sowas wie, dass die Funktionen nicht monoton sind, weil sie lokal nicht
monoton sind - wobei letzteres bedeuten soll: Es gibt einen Punkt und
eine (nichtleere) Umgebung um diesen Punkt derart, dass die
Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf diese Umgebung weder monoton wachsend
noch monoton fallend ist.
(Übrigens muss man sich überlegen, ob man dabei dann sagen will, dass
der Punkt zum Definitionsbereich gehört... denn bei [mm] $1/x\,$ [/mm] ist die Funktion
an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nicht definiert. Vielleicht denkt man dabei also besser
an Häufungspunkte des Definitionsbereichs... aber wir verwerfen das
ganze sicher eh besser, weil es nicht wirklich schulgerecht ist, von lokalen
Umgebungen und Häufungspunkten zu sprechen - jedenfalls nicht für alle
Schulklassen und Kursarten ist das geeignet!)
> Ich hab darüber gegoogelt und hab nichts gefunden.
> und,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Na, nimm' das, was Du woanders geschrieben hast:
Eine Funktion $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] ist genau dann monoton, wenn sie monoton
wachsend oder monoton fallend ist, d.h. wenn (mindestens!) einer der
beiden Folgenden Fälle gilt:
1. Fall: Für alle $x,y [mm] \in [/mm] [a,b]$ folgt aus $x [mm] \le [/mm] y$ schon $f(x) [mm] \le [/mm] f(y)$ [mm] ($f\,$
[/mm]
ist mon. wachs.)
2. Fall: Für alle $x,y [mm] \in [/mm] [a,b]$ folgt aus $x [mm] \le [/mm] y$ schon $f(x) [mm] \ge [/mm] f(y)$ [mm] ($f\,$
[/mm]
ist mon. fallend).
Jetzt überlege Dir, dass, wenn man sagen will, dass eine Funktion nicht
monoton ist - weil das bedeutet, dass dann [mm] $f\,$ [/mm] nicht(!) monoton
wachsend UND dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht(!) monoton fallend ist - das nichts anderes
bedeutet als:
Es gibt drei Stellen $x,y,z [mm] \in [/mm] [a,b]$ mit der Eigenschaft, dass $x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] z$
gilt, die aber einen (und nur einen) der beiden folgenden Fälle erfüllen:
1. Fall: $f(x) < [mm] f(y)\,$ [/mm] und $f(y) > f(z)$
oder
2. Fall: $f(x) > [mm] f(y)\,$ [/mm] und $f(y) < [mm] f(z)\,.$
[/mm]
Und diese beiden Fälle können Schüler sich zusammenbasteln:
[mm] $[a,b]=[-1,1]\,.$
[/mm]
Da erklärt man dann: Vielleicht kann man ja eine Funktion angeben, die
erfüllt (gemäß des 2. Falls):
$f(-1) > [mm] f(0)\,$ [/mm] und $f(0) < [mm] f(1)\,.$ [/mm] Natürlich kann man das sowieso - denn
in der Aufgabe wird nichts von Stetigkeit, Diff'barkeit noch sonst was
verlangt. Aber dennoch kann man dann die Suche "mit durch bekannten
Funktionsausdrücken definierten Funktionen" solche auf symmetrische um
die [mm] $y\,$-Achse [/mm] beschränken und kommt schnell zum Ergebnis, dass
[mm] $f(x)=x^2\,$ [/mm] oder [mm] $f(x)=-x^2$ [/mm] oder [mm] $f(x)=|x|\,$ [/mm] oder [mm] $f(x)=-|x|\,$
[/mm]
geeignet sind...
(Nebenbei: Man kann das auch so ausdrücken, dass eine Funktion $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm]
jedenfalls dann nicht monoton ist, wenn es $x,y,z [mm] \in [/mm] [a,b]$
mit $x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] z$ gibt (hier kann man auch überall [mm] $<\,$ [/mm] schreiben!)
mit der Eigenschaft, dass $(f(x)-f(y))*(f(y)-f(z)) < [mm] 0\,$ [/mm] gilt!
Wenn Du willst: Beweise diesen Satz! Und wenn Du Zeit und Lust hast:
Überlege Dir, ob man diesen Satz vielleicht auch in eine "genau dann,
wenn"-Version umformulieren darf!)
P.P.S.:
Damit Dir klar ist, dass man wirklich nur diese "3-Stellen-Bedingung"
braucht:
Nimm' mal $f: [-5,2] [mm] \to \IR\,.$ [/mm] Setze [mm] $f(-\sqrt{2}):=5\,,$ $f(1/3):=\pi/2$
[/mm]
und [mm] $f(\sqrt{3}):=10^{24}$ [/mm] und ansonsten [mm] $f\,$ [/mm] wie auch immer Du
magst. Dieses [mm] $f\,$ [/mm] wird nie monoton fallend und auch nie monoton
wachsend werden können!
Gruß,
Marcel
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