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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Betrachten Sie den Fall, dass die Näherung [mm] \alpha [/mm] << 1 nicht gilt und leiten sie ein Integral für die Periodendauer T her. Verwenden Sie dazu die Anfangsbedingungen [mm] \alpha(t [/mm] = 0) = [mm] \alpha_0 [/mm] < [mm] \pi [/mm] und [mm] \alpha` [/mm] (t = 0) = 0.
Hinweis: Multiplizieren Sie die Bewegungsgleichung mit [mm] \alpha` [/mm] und trennen die Variablen. |
Das ist eine Aufgabe in Theoretischer Physik. Die Bewegungsgleichung habe ich aufgestellt als:
[mm] \alpha`` [/mm] = [mm] -\bruch{g}{l} sin(\alpha) [/mm]
Also mit dem Hinweis:
[mm] \alpha`` \alpha` [/mm] = [mm] -\bruch{g}{l} sin(\alpha) \alpha`
[/mm]
Aber ich komme nicht weiter. Alpha ist doch immer von t abhängig, welche Variablen soll ich also trennen? o.o
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mi 29.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
beachte, dass wegen Kettenregel [mm] $\frac{d}{dt}\dot{\alpha}^2=2\dot{\alpha}\ddot{\alpha}$, [/mm] sowie [mm] $\frac{d}{dt}\cos(\alpha)=-sin(\alpha)\dot{\alpha}$ [/mm] gilt.
Dann kannst du über die Zeit integrieren und die Variablen trennen und erhälst als Lösung ein elliptisches Integral 1. Art.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Do 30.10.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Hmmm, also wenn ich den Hinweis mit der Kettenregel benutze, komme ich ja auf:
[mm] \bruch{1}{2} \bruch{d}{dt} \dot{\alpha}^2 [/mm] = [mm] \bruch{g}{l} \bruch{d}{dt} cos(\alpha)
[/mm]
Wenn ich nach dt integrieren bleib dann:
[mm] \bruch{1}{2} \dot{\alpha}^2 [/mm] = [mm] \bruch{g}{l} cos(\alpha)
[/mm]
Aber das ist ja eine quadratische DGL, die kann ich doch nicht mit Trennung der Variablen lösen? Oder doch? Oder hab ich schon vorher einen Fehler gemacht?
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> Hmmm, also wenn ich den Hinweis mit der Kettenregel
> benutze, komme ich ja auf:
>
> [mm]\bruch{1}{2} \bruch{d}{dt} \dot{\alpha}^2[/mm] = [mm]\bruch{g}{l} \bruch{d}{dt} cos(\alpha)[/mm]
>
> Wenn ich nach dt integrieren bleibt dann:
>
> [mm]\bruch{1}{2} \dot{\alpha}^2[/mm] = [mm]\bruch{g}{l} cos(\alpha)[/mm]
Stopp ! Integrationskonstante nicht vergessen !
> Aber das ist ja eine quadratische DGL, die kann ich doch
> nicht mit Trennung der Variablen lösen? Oder doch? Oder
> hab ich schon vorher einen Fehler gemacht?
Mit Konstante haben wir dann:
[mm]\dot{\alpha}^2\ =\ \bruch{2\,g}{l}\ cos(\alpha)\,+\,C[/mm]
$\ [mm] \dot{\alpha}\ [/mm] =\ [mm] \frac{d\alpha}{dt}\ [/mm] =\ [mm] \pm\,\sqrt{\bruch{2\,g}{l}\ cos(\alpha)\,+\,C}$ [/mm]
$\ [mm] \frac{d\alpha}{\sqrt{\bruch{2\,g}{l}\ cos(\alpha)\,+\,C}}\ [/mm] =\ [mm] \pm\,dt$ [/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Do 30.10.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ah, super, jetzt hab ichs verstanden. Vielen Dank.
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