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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mi 01.08.2012 | | Autor: | tinf |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Fächenintegral
[mm] \integral_{}^{}{}\integral_{A}^{}{f(x) dA}
[/mm]
für die Funktion
f(x,y) = 3x-2y
wobei A die grau schattierte Fläche der Parallelogramms in der Skitze ist. |
Hallo,
ich würde gerne wissen wie man den Integrationsbereich bei Flächenintegralen bestimmt für die genannten Aufgabenstellung.
Meine Vermutung war bis jetzt, dass ich zuerst die Grenzen für das äußere Integral setze, und dann für das innere Integral, sodass folgendes Doppelintegral rauskommt:
[mm] \integral_{y = 0}^{2}{} \integral_{x = 0,5y}^{0,5y+1} [/mm] {f(x,y)}dx dy
f(x,y) habe ich = 1 gesetzt, wie in ein em anderen Beispiel was ich nachgerechnet hatte. War leider ohne Erklärung warum das so ist.
Wenn ich das Doppelintegral berechne, komm ich auf ein Ergebnis was ich auch erwartet hatte: A = 2. Ich vermute jedoch, dass es eher ein Zufall ist.
Zudem weis ich nicht was die Funktion f(x,y) = 3x-2y für einen Sinn hat und wo man diese Benutzen soll?
[Dateianhang nicht öffentlich]
schöne Grüße,
tinf
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mi 01.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hast Du die Skizze selbst gemacht?
Sollen die ECKPUNKTE des Parallelogramms
(0,0), (1,0), (2,2) und (1,2) sein?
(Die Skizze wäre dann etwas ungenau.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Mi 01.08.2012 | | Autor: | tinf |
Ja, die Eckpunkte sind (0,0), (1,0), (2,2) und (1,2). Wusste grad nicht wie ich mal eben die Skizte abzeichnen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mi 01.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Die Fläche A lässt sich, wie Du es auch gemacht hast, beschreiben als die Menge
[mm] $A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0.5y\leq x\leq 0.5y+1, 0\leq y\leq 2\right\}$
[/mm]
Damit hast Du Recht, wenn Du rechnen willst:
[mm] $\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0.5y}^{0.5y+1}3x-2y\, dx\, [/mm] dy$
Rechne erst das innere Integral aus und dann das äußere.
Alternativ kannst Du dir Fläche A auch darstellen, indem Du x von 0 bis 2 gehen lässt und Dir überlegst, was y dann für Werte annehmen kann.
Aber das ist etwas umständlicher, die Darstellung der Fläche A oben ist da viel besser.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 01.08.2012 | | Autor: | tinf |
danke schon mal, es ist beruhigend zu wissen, dass ich doch nicht ganz falsch lag. Aber ich versteh immer noch nciht wozu man 3x-2y braucht für diese Aufgabe. Damit wird doch nicht der Flächeninhalt ausgerechnet.. oder etwa doch??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Mi 01.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Die Frage verstehe ich nicht so recht.
Du musst doch eine Funktion haben, für die Du das Integral ausrechnest.
Wenn Du zum Beispiel im Eindimensionalen bist, rechnest Du doch auch zum Beispiel für $f(x)=3x$:
[mm] $\int\limits_{0}^{2}3x\, [/mm] dx$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Mi 01.08.2012 | | Autor: | tinf |
Bei einem eindimensionalen Integral wie bei deinem Beispiel eben kann ich mir ganz genau vorstellen, was man berechnet. Einfach gesagt: "die Fläche unter der Kurve".
Ein Flächenintegral kann ich zwar rechnerisch lösen, kann mir aber nicht vorstellen was man da genau berechnet hat. Nach einer Diskussion mit einem Kommilitonen sind wir auf die Idee gekommen, dass es evtl. die z-Ebene ist??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mi 01.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ist [mm] $A\subseteq\mathbb{R}^2$ [/mm] so wie hier eine beschränkte Menge, und [mm] $f\colon A\to\mathbb{R}$, [/mm] so ist [mm] $\int_{A}f(x,y)dA$ [/mm] anschaulich das Volumen unterhalb des Graphen von von $f$.
In diesem Sinne befindet man sich also wirklich im Dreidimensionalen, d.h. die z-Achse kommt hinzu, ja.
Wobei $dA$ hier das Flächenelement der xy-Ebene ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mi 01.08.2012 | | Autor: | tinf |
Vielen Dank Dennis! Du hast mir wirklich sehr geholfen!!:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Mi 01.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich freue mich, wenn ich hier auch mal helfen kann. 
vG
Dennis
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