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Fairer Münzwurf: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Sa 14.06.2014
Autor: Cccya

Aufgabe
Ein Spieler startet mit dem Anfangskapital K0 = 1. In jeder Runde i = 1, . . . , n setzt er die Hälfte
seines Kapitals ein. Es wird eine faire Münze geworfen (jede Runde unabhängig) und bei
Kopf erhält er seinen Einsatz verdoppelt zuruck, bei ¨
Zahl verliert er ihn.

a) Stellen Sie das Kapital nach der n-ten Runde als Kn = [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] Ri mit geeigneten, unabhängigen Ri
dar.

b)  Weisen Sie nach, dass das Spiel fair ist in dem Sinne, dass E[Kn] = 1 gilt.

c)  Zeigen Sie, dass dennoch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm]
Kn = 0 P-fast sicher gilt

a) Versteh ich es richtig, dass die Ri wieder Zufallsvariablen sein sollen? Dann würde ich sagen, dass Ri = Bi + 0.5 wobei Bi mit i = 1,...,n Bernoulli verteilt mit Parameter p = 0.5 sind.

b)  Der Ewartungswert der Bernoulli Verteilung ist p * 1 - (1-p) = p = 0.5
Also E( [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] Ri) = wegen Unabhängigkeit [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] E(Ri) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] E (Bi +0.5) [mm] =\produkt_{i=1}^{n} [/mm] ( E(Bi) +E(0.5) ) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (0.5 +0.5) [mm] =\produkt_{i=1}^{n} [/mm]  1 = 1

c)  Tja von der Überlegung her würde ich sagen, dass es in jeder Runder n eine positive Wahrscheinlichkeit gibt eine Niederlagenserie bis zu Kn = 0 starten, egal was vorher passiert ist und d.h. die Wahrscheinlichkeit in jeder Runde n nicht so eine Niederlagenserie zu starten ist (etwas) kleiner als 1. Damit ist die Wahrscheinlichkeit nie so eine Niederlagenserie zu starten, also [mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Kn > 0) = [mm] \produkt_{n=1}^{\infty} p_{n}= [/mm] 0 mit alle [mm] p_{n} [/mm] < 1  die Wahrscheinlichkeit in Runde n nicht die Niederlagenserie bis Kn = 0 zu starten. Negatives Kapital ist ja nicht möglich also ist [mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Kn = 0) = 1 - [mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Kn > 0) = 1
Kann man das so zeigen und wenn ja wie formuliere ich das mathematisch? Besonders wie schreibe ich mathematisch: die Niederlagenserie bis Kn = 0?
Vielen Dank!

        
Bezug
Fairer Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Sa 14.06.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  a) Versteh ich es richtig, dass die Ri wieder Zufallsvariablen sein sollen?

Ja.

> Dann würde ich sagen, dass Ri = Bi + 0.5 wobei Bi mit i = 1,...,n Bernoulli verteilt mit Parameter p = 0.5 sind.

[ok]
  

> b)

[ok]

> c)  Tja von der Überlegung her

Nix überlegen. Wende das starke Gesetz der großen Zahlen an.
Tipp: Logarithmieren.

Gruß,
Gono.


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Fairer Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:12 So 15.06.2014
Autor: Cccya

Heißt das ich muss eine Folge von Zufallsvariable finden, für die das zentrale arithmetische Mittel = Kn ist? Wenn ich z.B. log (Ri) nehme hab ich

[mm] 1/n\summe_{i=1}^{n}(log(Ri) [/mm] - E (log(Ri)) = 1/n (log( [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] Ri) - [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] E(log(Ri)) = 1/n (log(Kn) - E( [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] log(Ri))) = 1/n (log(Kn) - E(log(Kn)) Kommt man da jetzt noch irgendwie weiter oder ist das schon falsch?

Bezug
                        
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Fairer Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 Mo 16.06.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Heißt das ich muss eine Folge von Zufallsvariable finden, für die das zentrale arithmetische Mittel = Kn ist?

Wat?



> [mm]1/n\summe_{i=1}^{n}(log(Ri)[/mm] - E (log(Ri)) = 1/n (log(
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}[/mm] Ri) - [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] E(log(Ri)) = 1/n
> (log(Kn) - E( [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] log(Ri))) = 1/n (log(Kn) -
> E(log(Kn)) Kommt man da jetzt noch irgendwie weiter oder ist das schon falsch?

Falsch ist das nicht, nur nicht zielführend :-)
Aber es ist ein guter Ansatz, ich schubs dich mal in die richtige Richtung.

Dass der erste Teil gegen [mm] \bruch{1}{n}\log(K_n) [/mm] geht, ist schon mal gut.
Für den hinteren Teil mach dir mal klar, dass die [mm] R_i [/mm] alle gleich verteilt sind und damit gilt:

[mm] $E[\log(R_i)] [/mm]  = [mm] E[\log(R_1)]$ [/mm]

D.h. da bleibt stehen:

[mm] $\bruch{1}{n}\log(K_n) [/mm] - [mm] E[\log(R_1)]$ [/mm]

und wogegen geht das denn nun für [mm] $n\to\infty$? [/mm] Das hast du ja noch gar nicht hingeschrieben.
Was bedeutet das also für [mm] $\log(K_n)$? [/mm]

Gruß,
Gono.

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Fairer Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:21 Mo 16.06.2014
Autor: Cccya

Na ja E(log(Ri)) = E(log(R1) = log(1) = 0
und nach dem Gesetz der gr. Zahlen geht also 1/n log(Kn) gegen 0.
Nur was mach ich jetzt? Das sagt mir doch nur, dass log(Kn) langsamer wächst als n und wie kann ich davon auf Konvergenz von Kn schließen?
Ich steh da ehrlich gesagt voll auf dem Schlauch.

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Fairer Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:32 Mo 16.06.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Na ja E(log(Ri)) = E(log(R1) = log(1) = 0

[notok]

Da solltest du dir wohl nochmal Gedanken machen

>  und nach dem Gesetz der gr. Zahlen geht also 1/n log(Kn) gegen 0.
>  Nur was mach ich jetzt? Das sagt mir doch nur, dass log(Kn) langsamer wächst als n und wie kann ich davon auf Konvergenz von Kn schließen?

Hättest du den Erwartungswert korrekt berechnet, wüsstest du es.

Gruß,
Gono.

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Fairer Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Mo 16.06.2014
Autor: Cccya

E(log(Ri)) = 0.5log(1.5)+0.5log(0.5) < 0 also konvergiert 1/n log(Kn) gegen
einen negativen Wert und weil 1/n gegen null konvergiert muss log(Kn) dann gegen - [mm] \infty [/mm] konvergieren. log (x) konvergiert gegen - [mm] \infty [/mm] für x -- > 0,
deshalb muss Kn --> 0?

Bezug
                                                        
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Fairer Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Mo 16.06.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> E(log(Ri)) = 0.5log(1.5)+0.5log(0.5) < 0 also konvergiert
> 1/n log(Kn) gegen
>  einen negativen Wert und weil 1/n gegen null konvergiert
> muss log(Kn) dann gegen - [mm]\infty[/mm] konvergieren. log (x)
> konvergiert gegen - [mm]\infty[/mm] für x -- > 0,
>  deshalb muss Kn --> 0?

[ok]
Und wenn du in Zukunft noch den Formeleditor dafür verwendest, sieht das ganze auch schön aus...

Gruß,
Gono.


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