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| Aufgabe | | Sei G eine endliche abelsche Gruppe und p eine Primzahl, die die Gruppenordnung von G teilt. Zeigen Sie, dass ein [mm] g\in [/mm] G existiert mit ord(g)=p. |
Hallo,
mir liegt ein Beweis vor, bei dem ich aber etwas Probleme habe, ihn nachzuvollziehen. Wir betrachten 2. Fälle:
(i) Sei [mm] e\neq g\in [/mm] G mit [mm] p|\mbox{ord}(g). [/mm] Dann gilt [mm] \mbox{ord}(g)=np [/mm] für ein [mm] n\Rightarrow [/mm] np minimal mit [mm] e=g^{np}=(g^{n})^{p}\Rightarrow\mbox{ord}(g^{n})=p.
[/mm]
Damit bin ich vollkommen einverstanden.
Jetzt der 2te Fall:
(ii) Wieder [mm] e\neq g\in G:p\nmid\mbox{ord}(g). [/mm] Dann betrachte die Faktorgruppe [mm] G/\left\langle g\right\rangle [/mm] . Sei [mm] \overline{h}\in G/\left\langle g\right\rangle [/mm] mit [mm] ord(\overline{h})=p.
[/mm]
Hier das erste Problem. Warum hat dieses [mm] \overline{h} [/mm] die Ordnung p, also warum existiert gerade so ein [mm] \overline{h}?
[/mm]
Nach Lagrange gilt doch [mm] ordG=\mbox{ord}(G/\left\langle g\right\rangle )\cdot\mbox{ord}(\left\langle g\right\rangle [/mm] ). Nun wissen wir, dass [mm] \mbox{ord}(\left\langle g\right\rangle [/mm] ) kein Vielfaches von p sein kann, also muss [mm] \mbox{ord}(G/\left\langle g\right\rangle [/mm] ) ein Vielfaches von p sein. Setze ich jetzt [mm] \mbox{ord}(G)=ap, [/mm] dann müsste doch [mm] \mbox{ord}(G/\left\langle g\right\rangle [/mm] )=rp sein für ein r|a.
Dann müsste ich wiederum für [mm] ord(\overline{h})=sp [/mm] schreiben mit s<r und s|r, weil wiederum nach Lagrange die Elementordnung die Gruppenordnung teilt. Wieso kann ich also annehmen, dass s=1 ist?
Weiter geht der Beweis übrigens so: Wir betrachten den kanonischen Homomorphismus: [mm] \pi:G\rightarrow G/\left\langle g\right\rangle ,a\mapsto a\left\langle g\right\rangle [/mm] . Dann ist [mm] h\in\pi^{-1}(\overline{h}) [/mm] (klar, weil die Abb. offensichtlich surjektiv ist). Dann gilt:
[mm] \overline{1}=\pi(1)=\pi(h^{ord(h)})=\pi(h)^{ord(h)}=\overline{h}^{ord(h)}. [/mm] Es folgt nun [mm] p|ord(h)\Rightarrow h^{ord(h)/p} [/mm] hat Ordnung p.
Der Rest ist mir eigtl. klar, nur der Anfang halt nicht.
Ich meine, wenn man natürlich schreibt [mm] ord(\overline{h})=sp, [/mm] kann man den Beweis ja auch leicht abändern, sodass es passt.
Vielleicht weiß jemand von euch bescheid!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 21.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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