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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 17.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Ein Integritätsbereich R heißt faktoriell, falls folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Für jedes r [mm] \in [/mm] R/{0} gibt es irreduzible Elemente [mm] p_1,..., p_g \in [/mm] R die paarweise nicht assoziert sind, Exponenten [mm] e_1,..., e_g \in \IN [/mm] und u [mm] \in R^x [/mm] mit
[mm] r=u*p^{e_1}_1...p^{e_n}_n
[/mm]
Diese Faktorisierung ist modulo Assoziiertheit eindeutig. D.h. gibt es zwei Faktorisierungen und
[mm] r=v*q^{f_1}_1...q^{f_m}_m
[/mm]
mit [mm] q_1,...,q_m [/mm] irreduzibel und paarweise nicht assoziert, [mm] f_1,..., f_m \in \IN [/mm] und v [mm] \in [/mm] R^x, so gilt:
(i)n=m
(ii) nach einer Permutation der Faktoren haben wir
[mm] e_i=f_i [/mm] und [mm] p_i [/mm] und [mm] q_i [/mm] sind assoziiert für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n
(iii) u und v sind assoziert. |
Hallo Leute,
paar Fragen dazu, ich verstehe das nämlich fast gar nicht:
1. Was heißt paarweise assoziiert?
2. Was bedeutet [mm] r=v*q^{f_1}_1...q^{f_m}_m [/mm] ?
3. Was ist "modulo Assoziiertheit"?
4. Wieso gibt es 2 Faktorisierungen?
Erstmal soweit.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Denke dabei mal an [mm] \IZ [/mm] und die Primfaktorzerlegung.
1.) Wenn du dir 2 Faktoren [mm] p_i [/mm] und [mm] p_j [/mm] nimmst, dann sollen diese nicht assoziiert sein, d.h. es darf KEIN [mm] e_{i,j}\in R^\times [/mm] geben mit [mm] p_i=e_{i,j}*p_j. [/mm] Das muss eben für alle Paare von irreduziblen Elementen in der Faktorisierung von $ [mm] r=u\cdot{}p^{e_1}_1...p^{e_n}_n [/mm] $ gelten.
In [mm] \IZ [/mm] z.B. [mm] 12=\underbrace{1}_{=u}*\underbrace{2^2}_{=p_1^{e_1}}*\underbrace{3^1}_{=p_2^{e_2}}. [/mm] Hier sind 2 und 3 nicht assoziiert. Warum das so ist, das weißt du ja nun. :)
3.) Modulo Assoziiertheit bedeutet das, was dahinter kommt. Wenn man also eine andere Faktorisierung $ [mm] r=v\cdot{}q^{f_1}_1...q^{f_m}_m [/mm] $, dann kann das nur gehen, wenn im Prinzip die gleichen Faktoren da stehen wie in $ [mm] r=u\cdot{}p^{e_1}_1...p^{e_n}_n [/mm] $, nur eben, dass man hier noch überall Primfaktoren durch zu diesen assoziierten Elementen ersetzen darf.
z.B. kann ich in [mm] \IZ [/mm] auch 12 schreiben als [mm] 12=\underbrace{-1}_{=v}*\underbrace{2^2}_{=q_1^{f_1}}*\underbrace{(-3)^1}_{=q_2^{f_2}} [/mm] oder [mm] 12=\underbrace{1}_{=v}*\underbrace{(-2)^2}_{=q_1^{f_1}}*\underbrace{3^1}_{=q_2^{f_2}}
[/mm]
Weil [mm] \IZ [/mm] aber faktoriell ist, kannst du die 12 nicht anders darstellen. Du brauchst die einmal eine 3 und 2mal die 2. Dann kannst du noch ein paar Minuszeichen verteilen, d.h. zu assoziierten Elementen in [mm] \IZ [/mm] übergehen! Aber du hast sonst keine Möglichkeit die 12 darzustellen. Das heißt also diese Eindeutigkeit modulo Assoziativität. Das sollte auch deine 2. und deine 4. Frage beantworten. Angenommen man hat eine andere Darstellung von r, dann sind die Primfaktoren "im Prinzip gleich", nur eben dass man überall ein paar Einheiten noch reinschummeln kann.
Und das kann man auch allgemein für beliebige faktorielle Ringe machen.
Beispielweise ist auch [mm] \IR[X] [/mm] faktoriell. Du kannst dann z.B. [mm] X^2-1=(X+1)(X-1) [/mm] schreiben. Du kannst aber auch z.B. [mm] X^2-1=(\frac{1}{2}(X+1))*(2*(X-1)) [/mm] schreiben. Hier ist wieder diese Eindeutigkeit modulo Einheiten. [mm] \frac{1}{2} [/mm] und 2 sind Einheiten in [mm] \IR[X] [/mm] und die wurden einfach unter die erste Primfaktorzerlegung gemischt. Weil [mm] \IR[X] [/mm] aber faktoriell ist, kannst du [mm] X^2-1 [/mm] sonst nicht wirklich anders darstellen. Du benötigst immer irgendwie (X+1) und (X-1).
Hilft dir das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 17.08.2012 | | Autor: | AntonK |
"3.) Modulo Assoziiertheit bedeutet das, was dahinter kommt. Wenn man also eine andere Faktorisierung $ [mm] r=v\cdot{}q^{f_1}_1...q^{f_m}_m [/mm] $, dann kann das nur gehen, wenn im Prinzip die gleichen Faktoren da stehen wie in $ [mm] r=u\cdot{}p^{e_1}_1...p^{e_n}_n [/mm] $, nur eben, dass man hier noch überall Primfaktoren durch zu diesen assoziierten Elementen ersetzen darf."
Danke erstmal für die Mühe, deine Erklärungen finde ich ziemlich verständlich. Nur verstehe ich in den einen Satz nicht ganz, dass bei einer "anderen" Zerlegung von einer Zahl die gleichen Primfaktoren dastehen sehe ich ein, nur was meinst du mit:
"...nur eben, dass man hier noch überall Primfaktoren durch zu diesen assoziierten Elementen ersetzen darf."
Ersetzen darf man ansich ja nur die Vorzeichen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Schön, wenn es dir hilft. :)
Das mit den "Vorzeichen ersetzen" ist so eine Sache, die speziell in [mm] \IZ [/mm] funktioniert. Im Allgemeinen kann man die Primkfaktoren auch durch andere assoziierte Elemente ersetzen. Wie im Beispiel [mm] \IR[X]. [/mm] Hier hatten wir [mm] X^2-1=(X+1)(X-1) [/mm] als eine Primkfaktorzerlegung. Hier kann man auch [mm] X^2-1=(-(X+1))(-(X-1)) [/mm] schreiben. Genauso legitim ist aber auch $ [mm] X^2-1=(\frac{1}{2}(X+1))\cdot{}(2\cdot{}(X-1)) [/mm] $ zu schreiben. Hauptsache, man "streckt" die Primfaktoren mit irgendwelchen Einheiten, sodass am Ende aber noch das richtige rauskommt, mal ganz salopp gesagt. In [mm] \IZ [/mm] hast du nur die -1 zur Verfügung um irgendwas zu ändern, daher kannst du da wirklich nur an den Vorzeichen rütteln. In [mm] \IR[X] [/mm] hast du aber ein paar mehr Einheiten (überabzählbar unendlich viele um genau zu sein), daher hast du da mehr Spielraum.
Oder um nochmal nach [mm] \IZ[i] [/mm] zu kommen:
z.B. gilt 2=(1+i)(1-i), weil 1, -1, i und -i Einheiten sind, kann man hier auch noch etwas mit i machen. z.B. 2=(i(1+i))(-i(1-i))=(-1+i)(-1-i).
Fazit: In beliebigen faktoriellen Ringen hast du einfach mehr Möglichkeiten ein Elemente r darzustellen als in [mm] \IZ [/mm] z.B. Das bemerkenswerte dabei ist eben nur, dass du feste Primfaktoren hast oder eben assoziierte Zahlen dazu.
Man kann auch sagen, dass man assoziierte Elemente dort einfach als gleichwertig betrachtet. Das ist auch eine andere Ausdrucksweise, dass die Darstellung eindeutig modulo Assoziiertheit ist.
Guck dir das am besten noch einmal in Ruhe an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 18.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke nochmal! Und sorry für die späte Antwort.
Dieses n=m heißt doch eben, dass die Zerlegung eindeutig ist oder? Also das die gleichen Primfaktoren in beiden Zerlegungen vorkommen müssen, richtig?
Was heißt nach einer Permutation der Faktoren? Also, dass ich die eifnach vertausche und im Endeffekt immernoch das gleiche stehen habe?
Und wieso sind u und v automatisch assoziiert dadurch? Kommt das nicht einfach, das dies gerade der Definition entspricht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
m=n heißt, dass in beiden Faktorisierungen die gleiche Anzahl an Faktoren vorkommen muss. Dass in 2 Faktorisierungen die gleichen Faktoren auftreten müssen, muss extra gefordert werden. m=n bezieht sich also wirklich nur auf die Anzahl der verschiedenen Faktoren.
Genau, und Permutation heißt nur, dass du die Faktoren durcheinander würfeln darfst. Das geht, weil ihr nur kommutative Ringe betrachtet, also die Reihenfolge der Multiplikationen egal ist.
Und es gilt, dass 2 Einheiten immer assoziiert sind. Seien u,v 2 Einheiten aus R. Dann gibt es [mm] u^{-1}, v^{-1} [/mm] mit [mm] uu^{-1}=1 [/mm] und [mm] vv^{-1}=1. [/mm] Dann ist [mm] $uu^{-1}=vv^{-1} \gdw [/mm] ... das kriegst du sicher selbst hin. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 19.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke mal wieder!
Aber jetzt weiß ich gerade nicht worauf du hinauswillst:
[mm] $uu^{-1}=vv^{-1} \gdw$
[/mm]
Folgt hieraus schon die assoziiertheit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
u und v wären doch assoziiert, wenn es eine Einheit w geben würde, sodass u=wv.
Nun hast du [mm] $uu^{-1}=vv^{-1} \gdw u=(uv^{-1})v$, [/mm] wobei [mm] uv^{-1} [/mm] eine Einheit ist, weil [mm] R^\times [/mm] ja eine Gruppe bildet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 19.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Hahaha verdammt, hab das schon vor mir stehen, war aber irgendwie erstmal nichtssagend für mich, ich weiß nun Bescheid, vielen Dank und schönen Sonntag noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem! :) Dir auch.
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