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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Faktorisieren Sie [mm] x^8-1 [/mm] in [mm] \IQ[x]. [/mm] (Tipp 3 Binomische formel) |
Hallo,
ich finde diese Aufgabe sehr merkwürdig.
Wenn ich die obige Aufgabe faktorisieren soll, dann habe ich doch nach der 3. Bin Formel
[mm] (x^8-1)=(x^4-1)(x^4+1) [/mm] aber wie müsste ich jetzt hier weitermachen? Die Aufgabe dürfte doch fast schon gelöst sein. Ich habe ja die Nullstellen 1 und -1.
Bitte um Hilfe! Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Mo 28.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Faktorisieren Sie [mm]x^8-1[/mm] in [mm]\IQ[x].[/mm] (Tipp 3 Binomische
> formel)
> Hallo,
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> ich finde diese Aufgabe sehr merkwürdig.
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> Wenn ich die obige Aufgabe faktorisieren soll, dann habe
> ich doch nach der 3. Bin Formel
>
> [mm](x^8-1)=(x^4-1)(x^4+1)[/mm] aber wie müsste ich jetzt hier
> weitermachen? Die Aufgabe dürfte doch fast schon gelöst
> sein. Ich habe ja die Nullstellen 1 und -1.
Du hast auch echt komplexe Nullstellen.
Aus [mm] $x^4 [/mm] - 1$ bekommst du wieder [mm] $(x^2 [/mm] - 1) [mm] (x^2 [/mm] + 1)$, und aus [mm] $x^2 [/mm] - 1$ dann $(x - 1) (x + 1)$ und somit deine beiden reellen Nullstellen.
Aber es bleibt ja noch was uebrig, naemlich [mm] $x^4 [/mm] + 1$ und [mm] $x^2 [/mm] + 1$.
Kannst du [mm] $x^2 [/mm] + 1$ und [mm] $x^2 [/mm] + 4$ weiter faktorisieren?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo!
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> > Faktorisieren Sie [mm]x^8-1[/mm] in [mm]\IQ[x].[/mm] (Tipp 3 Binomische
> > formel)
> > Hallo,
> >
> > ich finde diese Aufgabe sehr merkwürdig.
> >
> > Wenn ich die obige Aufgabe faktorisieren soll, dann habe
> > ich doch nach der 3. Bin Formel
> >
> > [mm](x^8-1)=(x^4-1)(x^4+1)[/mm] aber wie müsste ich jetzt hier
> > weitermachen? Die Aufgabe dürfte doch fast schon gelöst
> > sein. Ich habe ja die Nullstellen 1 und -1.
>
> Du hast auch echt komplexe Nullstellen.
>
> Aus [mm]x^4 - 1[/mm] bekommst du wieder [mm](x^2 - 1) (x^2 + 1)[/mm], und aus
> [mm]x^2 - 1[/mm] dann [mm](x - 1) (x + 1)[/mm] und somit deine beiden reellen
> Nullstellen.
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> Aber es bleibt ja noch was uebrig, naemlich [mm]x^4 + 1[/mm] und [mm]x^2 + 1[/mm].
>
> Kannst du [mm]x^2 + 1[/mm] und [mm]x^2 + 4[/mm] weiter faktorisieren?
>
> LG Felix
>
Hallo,
so weit bin ich auch schon, du meinst aber sicherlich [mm] x^2+1 [/mm] und [mm] x^4+1?!
[/mm]
Ich denke hier kommen die komplexen Zahlen zum vorschein
[mm] x^2+1=0 [/mm] mit [mm] i^2=-1 [/mm]
die NS wären: [mm] i_1 [/mm] = i und [mm] i_2=-i [/mm] und damit als Polynom (x-i)(x+i)
dürfte doch so stimmen, oder?
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Hallo Bodo,
ja, auch das stimmt soweit.
Jetzt fehlt noch die Zerlegung von [mm] (x^4+1), [/mm] und die ist etwas schwieriger. Weißt Du, was [mm] \wurzel{i} [/mm] ist?
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Mo 28.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> ja, auch das stimmt soweit.
ja, allerdings ist nicht nach einer Zerlegung ueber [mm] $\IC$ [/mm] gefragt, sondern ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Hier muss man also zeigen, dass [mm] $x^2 [/mm] + 1$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] irreduzibel ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo,
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> > ja, auch das stimmt soweit.
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> ja, allerdings ist nicht nach einer Zerlegung ueber [mm]\IC[/mm]
> gefragt, sondern ueber [mm]\IQ[/mm]. Hier muss man also zeigen, dass
> [mm]x^2 + 1[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] irreduzibel ist.
>
> LG Felix
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Hallo, also muss ich doch zeigen, dass sie unzerlegbar sind. Aber wie mache ich das? Die Lösungen in [mm] \IC [/mm] zu berechnen war dann doch recht einfach. bitte um kurze Rückmeldung! Danke
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> > Hallo,
> >
> > > ja, auch das stimmt soweit.
> >
> > ja, allerdings ist nicht nach einer Zerlegung ueber [mm]\IC[/mm]
> > gefragt, sondern ueber [mm]\IQ[/mm]. Hier muss man also zeigen, dass
> > [mm]x^2 + 1[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] irreduzibel ist.
> >
> > LG Felix
> >
> Hallo, also muss ich doch zeigen, dass sie unzerlegbar
> sind. Aber wie mache ich das? Die Lösungen in [mm]\IC[/mm] zu
> berechnen war dann doch recht einfach.
Hi Bodo,
Wäre [mm] x^2+1 [/mm] über [mm] \IQ [/mm] reduzibel, so müsste
[mm] x^2+1=(x-a)(x-b) [/mm]
sein mit [mm] a,b\in\IQ [/mm] , und dies ist eben nicht der Fall.
Aus http://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom :
Über Körpern gilt:
* Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
* Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie [mm] \mathbb{C} [/mm] Grad 1.
* Für Polynome vom Grad 2 oder 3 gilt: sie sind genau dann irreduzibel, wenn sie keine Nullstelle besitzen.
LG Al-Chw.
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> Hallo Bodo,
>
> ja, auch das stimmt soweit.
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> Jetzt fehlt noch die Zerlegung von [mm](x^4+1),[/mm] und die ist
> etwas schwieriger. Weißt Du, was [mm]\wurzel{i}[/mm] ist?
>
> lg
> reverend
Hallo,
man hat doch jetzt [mm] x^4+1=0. [/mm] Nun subst. mit [mm] y=x^2 [/mm] -> [mm] y^2+1=0
[/mm]
hieraus erhält man wieder (wie mit [mm] x^2+1) [/mm] die beiden Nullstellen, -i und i. Weiter muss nun berücksichtigt werden, dass [mm] x^2=y [/mm] -> [mm] y^{0,5} [/mm] =x
Es gilt nun:
[mm] y_1=x_1=-i [/mm] -> [mm] y_1^{0,5}=-i [/mm] -> [mm] y_1 [/mm] = [mm] \wurzel{-i}
[/mm]
[mm] y_2=x_2= [/mm] i -> [mm] y_2 [/mm] = [mm] \wurzel{i}
[/mm]
Da aber 4 Nullstellen existieren müssen, gilt zudem noch
[mm] y_3 [/mm] = [mm] -\wurzel{-i}
[/mm]
[mm] y_4 [/mm] = [mm] -\wurzel{i}
[/mm]
und damit für das Polynom:
[mm] x^8-1=(x-1)(x+1)(x+i)(x-i)(x+\wurzel{i})(x+\wurzel{-i})(x-\wurzel{i})(x-\wurzel{-i})
[/mm]
Dürfte doch so stimmen... oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Mo 28.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Bodo,
Deine Rechnung sieht ok aus. Beachte aber [mm] \wurzel{i}=\pm\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i),\quad \wurzel{-i}=\pm\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1-i)
[/mm]
Lies aber vor allem die letzte Mitteilung von Felix. Ich hatte nicht genau auf die Aufgabenstellung gesehen und ging von [mm] \IC [/mm] aus. Das scheint ja gar nicht gefragt zu sein...
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 31.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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