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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Do 20.11.2008 | | Autor: | Parn |
Hallo,
ich habe die Aufgabe für die Determinante der Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 } [/mm] eine möglichst einfache Formel anzugeben.
Wenn ich diese nun mit der ![[]](/images/popup.gif) Regel von Sarrus berechnen will erhalte ich: [mm] bc^2+a^2*c+ab^2-a^2*b-b^2*c-c^2 [/mm] . Mein Computer verrät mir dann, dass dieser Term faktorisiert so aussieht: (a-b)(a-c)(c-b).
Ich selbst habe jedoch, sogar nachdem ich wusste was rauskommen muss, es nicht geschafft diesen Term entsprechend zu faktorisieren. Ich kann zwar den Faktorisierten Term ausmultiplizieren und diese Rechnung dann rückwärts aufschreiben, aber dazu brauche ich ja den faktorisierten Term, den mir in der Klausur kein PC verrät.
Wie komme ich also von der Gleichung die mir Sarrus liefert auf meinen faktorisierten Term?
Oder ist es garnicht so einfach möglich das zu faktorisieren und ich muss meine Formel für die Determinante sogar durch ein anderes Verfahren bestimmen?
Tut mir leid, wenn es hier das falsche Forum für die Frage ist, aber da sie im Zusammenhang mit Determinanten auftrat hab ich sie hier her gesetzt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe die Aufgabe für die Determinante der Matrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 }[/mm]
> eine möglichst einfache Formel anzugeben.
> Wenn ich diese nun mit der
> Regel von Sarrus
> berechnen will erhalte ich: [mm]bc^2+a^2*c+ab^2-a^2*b-b^2*c-c^2[/mm]
> . Mein Computer verrät mir dann, dass dieser Term
> faktorisiert so aussieht: (a-b)(a-c)(c-b).
> Ich selbst habe jedoch, sogar nachdem ich wusste was
> rauskommen muss, es nicht geschafft diesen Term
> entsprechend zu faktorisieren. Ich kann zwar den
> Faktorisierten Term ausmultiplizieren und diese Rechnung
> dann rückwärts aufschreiben, aber dazu brauche ich ja den
> faktorisierten Term, den mir in der Klausur kein PC
> verrät.
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> Wie komme ich also von der Gleichung die mir Sarrus liefert
> auf meinen faktorisierten Term?
> Oder ist es garnicht so einfach möglich das zu
> faktorisieren und ich muss meine Formel für die
> Determinante sogar durch ein anderes Verfahren bestimmen?
Hallo!
Die Determinante der "Vandermonde-Matrix" erhält man besser über den Laplaceschen Entwicklungssatz, der sich hier ja auch anbietet.
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 }
[/mm]
= [mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 }
[/mm]
Entwickeln nach 1. Zeile:
= [mm] \vmat{b-a & c-a \\ b^2-a^2 & c^2-a^2 }
[/mm]
= [mm] (b-a)*(c^2-a^2) [/mm] - [mm] (c-a)*(b^2-a^2)
[/mm]
Mit der dritten binomischen Formel und ausklammern von (b-a) und (c-a), welche in beiden Summanden dann auftreten, kommt man zum Ergebnis.
Das Problem beim Umformen von Sarrus zu der faktorisierten Form dürfte vor allem sein, dass man wirklich etwas "sehen" muss. Sarrus liefert nämlich nur 6 Summanden, die Ergebnisform hat aber 8, wenn man sie ausmultiplizieren würde. Man müsste als "nahrhafte Nullen" addieren, sowas wie [mm] +bc^{2}-bc^{2}. [/mm] Darauf kommt man aber in der Klausur sicher nicht ohne weiteres. Deswegen versuche ich auch, möglichst wenig Sarrus zu verwenden sondern lieber zu Entwickeln, gerade wenn es so gut geht, weil man dann besser schon vor dem Ausrechnen der letztendlichen Determinante Faktorisierungen vornehmen kann.
Stefan.
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