Faktorisierung von Polynomen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 So 28.11.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Prüfen Sie folgende Polynome in [mm] $\IQ[X]$auf [/mm] Zerlegbarkeit und ermitteln Sie gegebenenfalls ihre Zerlegung:
a) [mm] $f(X)=7X^5+4X^4-2X^3+5X^2-6X+11$
[/mm]
b) [mm] $g(X)=X^5+3X^4-2X^3-4X^2+5X+4$ [/mm] |
Hallo,
ich habe leider Schwierigkeiten bei obiger Aufgabe. Zunächst erstmal zu b):
g ist normiert mit Koeffizienten aus [mm] $\IZ$. [/mm] Damit gilt: Ist [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle des Polynoms, so ist [mm] $\alpha \in \IZ$ [/mm] und [mm] $\alpha \;|\; [/mm] 4$
[mm] $\Rightarrow \alpha \in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$. [/mm] Kein Element dieser Menge ist jedoch Nullstelle (einsetzten), also existiert kein solches [mm] $\alpha$, [/mm] also lässt sich von g schonmal kein Linearfaktor abspalten.
Angenommen es gibt nichtkonstante $f,h [mm] \in \IQ[X]$, [/mm] sodass $g=fh$. Dann ist o.B.d.A. $grad(f)=2, grad(h)=3$
Da g normiert sind auch f und h normiert, damit sind sie nach dem Lemma von Gauß auch in [mm] $\IZ[X]$.
[/mm]
Jetzt bin ich an der Stelle, an der ich nicht weiterkomme:
Ich weiß, dass auch f in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] nicht in Linearfaktoren zerfallen kann, wohl aber in [mm] $\IR[X]$, bzw.$\IC[X]$. [/mm] Außerdem weiß ich, dass f(0),g(0) [mm] \;|\; [/mm] 4. Aber irgendwie komme ich damit nicht weiter?
Könnt ihr mir einen Ansatz geben?
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Prüfen Sie folgende Polynome in [mm]\IQ[X][/mm]auf Zerlegbarkeit
> und ermitteln Sie gegebenenfalls ihre Zerlegung:
> a) [mm]f(X)=7X^5+4X^4-2X^3+5X^2-6X+11[/mm]
Schau dir $f$ mal modulo 2 an.
> b) [mm]g(X)=X^5+3X^4-2X^3-4X^2+5X+4[/mm]
Schau dir $g$ mal modulo 3 an.
> Hallo,
> ich habe leider Schwierigkeiten bei obiger Aufgabe.
> Zunächst erstmal zu b):
>
> g ist normiert mit Koeffizienten aus [mm]\IZ[/mm]. Damit gilt: Ist
> [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle des Polynoms, so ist [mm]\alpha \in \IZ[/mm]
> und [mm]\alpha \;|\; 4[/mm]
> [mm]\Rightarrow \alpha \in \{-4,-2,-1,1,2,4\}[/mm].
> Kein Element dieser Menge ist jedoch Nullstelle
> (einsetzten), also existiert kein solches [mm]\alpha[/mm], also
> lässt sich von g schonmal kein Linearfaktor abspalten.
> Angenommen es gibt nichtkonstante [mm]f,h \in \IQ[X][/mm], sodass
> [mm]g=fh[/mm]. Dann ist o.B.d.A. [mm]grad(f)=2, grad(h)=3[/mm]
> Da g normiert
> sind auch f und h normiert, damit sind sie nach dem Lemma
> von Gauß auch in [mm]\IZ[X][/mm].
> Jetzt bin ich an der Stelle, an der ich nicht
> weiterkomme:
> Ich weiß, dass auch f in [mm]\IQ[X][/mm] nicht in Linearfaktoren
> zerfallen kann, wohl aber in [mm]\IR[X][/mm], bzw.[mm]\IC[X][/mm]. Außerdem
> weiß ich, dass f(0),g(0) [mm]\;|\;[/mm] 4. Aber irgendwie komme ich
> damit nicht weiter?
Du meist hier $h$ und nicht $g$, oder?
> Könnt ihr mir einen Ansatz geben?
$f = [mm] x^2 [/mm] + a x + b$, $h = [mm] x^3 [/mm] + c [mm] x^2 [/mm] + d x + e$ mit $a, b, c, d , e [mm] \in \IZ$
[/mm]
dann ist [mm] $x^5 [/mm] + 3 [mm] x^4 [/mm] - 2 [mm] x^3 [/mm] - 4 [mm] x^2 [/mm] + 5 x + 4 = g = f h = [mm] x^5 [/mm] + (a + c) [mm] x^4 [/mm] + (d + a c + b) [mm] x^3 [/mm] + (e + a d + b c) [mm] x^2 [/mm] + (a e + b d) x + b e$,
also
$a + c = 3$
$d + a c + b = -2$
$e + a d + b c = -4$
$a e + b d = 5$
$b e = 4$
Wenn man $c$ mit der ersten Geichung eliminiert ($c = 3 - a$), bekommt man
$d + 3 a - [mm] a^2 [/mm] + b = -2$
$e + a d + (3 - a) b = -4$
$a e + b d = 5$
$b e = 4$
Laut der letzten Gleichung kann $b = [mm] \pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 2, [mm] \pm [/mm] 4$ sein und entsprechend $e = [mm] \pm [/mm] 4, [mm] \pm [/mm] 2, [mm] \pm [/mm] 1$.
Ist $b = [mm] \pm [/mm] 2 = e$, so ist $a e + b d = 5$ nicht loesbar (warum?). Damit hast du schonmal zwei Faelle weniger.
Jetzt kannst du mit viel Aufwand und Muehe weitermachen, etwa indem du alle restlichen vier Moeglichkeiten fuer $b$ (und damit fuer $e$) einzeln anschaust. Fuer feste Wah von $b$ und $e$ kannst du alle Loesungen von $a e + b d = 5$ mit einer Variablen, nennen wir sie $z [mm] \in \IZ$, [/mm] parametrisieren. Das kannst du dann in die verbleibenden beiden Gleichungen einsetzen und schaun, ob du Loesungen finden kannst oder Widersprueche.
Einfacher ist es allerdings, sich das ganze modulo den oben genannten Primzahlen anzuschauen und dort mit anderen Methoden zu arbeiten, um zu zeigen, dass beide Polynome irreduzibel sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort.
>
> > Prüfen Sie folgende Polynome in [mm]\IQ[X][/mm]auf Zerlegbarkeit
> > und ermitteln Sie gegebenenfalls ihre Zerlegung:
> > a) [mm]f(X)=7X^5+4X^4-2X^3+5X^2-6X+11[/mm]
>
> Schau dir [mm]f[/mm] mal modulo 2 an.
>
> > b) [mm]g(X)=X^5+3X^4-2X^3-4X^2+5X+4[/mm]
>
> Schau dir [mm]g[/mm] mal modulo 3 an.
Mit den von dir vorgeschlagenen Reduktionen kann ich tatsächlich zeigen, dass die beiden Polynome in [mm] $\IF_2[X]$ [/mm] bzw. [mm] $\IF_3[X]$ [/mm] irreduzibel sind.
Bleibt die Frage, wie du darauf kommst genau diese beiden Reduktionen zu betrachten. Gehst du nach einem Muster vor? Beide Polynome sind nach der Reduktion ja normiert und haben Absoluterm 1, ist das dein Ansatz?
Wenn ich nun weiß, dass die Polynome in [mm] $\IF_2[X]$ [/mm] bzw. [mm] $\IF_3[X]$ [/mm] irreduzibel sind, dann heißt dies ja gleich, dass sie auch in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] irreduzibel sind.
Da g normiert ist, weiß ich damit auch, dass g in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] irreduzibel ist, bei einer möglichen Zerlegung $g=fh$ mit $f,h [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] gleich $f,h [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] gelten müsste. Dass aber eine solche Zerlegung nicht existiert habe ich ja durch die Irreduzibilität über [mm] $\IZ$ [/mm] bewiesen.
Nun ist die Frage, was ich für das Polynom f schließen kann. Es ist ja nicht normiert, ich kann also die Aussage, dass etwaige Faktoren sofort in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] liegen müssen, nicht anwenden. Wie komme ich hier weiter?
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> > > Prüfen Sie folgende Polynome in [mm]\IQ[X][/mm]auf Zerlegbarkeit
> > > und ermitteln Sie gegebenenfalls ihre Zerlegung:
> > > a) [mm]f(X)=7X^5+4X^4-2X^3+5X^2-6X+11[/mm]
> >
> > Schau dir [mm]f[/mm] mal modulo 2 an.
> >
> > > b) [mm]g(X)=X^5+3X^4-2X^3-4X^2+5X+4[/mm]
> >
> > Schau dir [mm]g[/mm] mal modulo 3 an.
>
>
> Mit den von dir vorgeschlagenen Reduktionen kann ich
> tatsächlich zeigen, dass die beiden Polynome in [mm]\IF_2[X][/mm]
> bzw. [mm]\IF_3[X][/mm] irreduzibel sind.
> Bleibt die Frage, wie du darauf kommst genau diese beiden
> Reduktionen zu betrachten. Gehst du nach einem Muster vor?
> Beide Polynome sind nach der Reduktion ja normiert und
> haben Absoluterm 1, ist das dein Ansatz?
Ich probier eigentlich immer erst, ob das Polynom modulo "ein paar" kleinen Primzahlen irreduzibel ist (zumindest modulo 2 oder 3) bzw. wie die Faktorisierung aussieht. (Und dazu frage ich meist den Computer, zumindest bei Polynomen von solchem Grad  ) Grad modulo 2 gibt es kaum irreduzible Polynome von Grad 2 und 3 (eins bzw. zwei) und die kann man sich leicht merken, also kann man schnell schauen ob diese Faktoren sind, und auf Nullstellen kann man auch schnell testen.
> Wenn ich nun weiß, dass die Polynome in [mm]\IF_2[X][/mm] bzw.
> [mm]\IF_3[X][/mm] irreduzibel sind, dann heißt dies ja gleich, dass
> sie auch in [mm]\IZ[X][/mm] irreduzibel sind.
Zumindest falls der Leitkoeffizient nicht 0 modulo der Primzahl ist. Was hier der Fall ist.
(Beim ersten Polynom darf man halt nicht modulo 7 gucken.)
> Da g normiert ist, weiß ich damit auch, dass g in [mm]\IQ[X][/mm]
> irreduzibel ist, bei einer möglichen Zerlegung [mm]g=fh[/mm] mit
> [mm]f,h \in \IQ[X][/mm] gleich [mm]f,h \in \IZ[X][/mm] gelten müsste. Dass
> aber eine solche Zerlegung nicht existiert habe ich ja
> durch die Irreduzibilität über [mm]\IZ[/mm] bewiesen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun ist die Frage, was ich für das Polynom f schließen
> kann. Es ist ja nicht normiert, ich kann also die Aussage,
> dass etwaige Faktoren sofort in [mm]\IZ[X][/mm] liegen müssen,
> nicht anwenden. Wie komme ich hier weiter?
Das geht schon: das Gaussche Lemma setzt nur voraus, dass das Polynom primitiv ist. Was hier der Fall ist, da z.B. $ggT(7, 11) = 1$ ist.
LG Felix
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