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| Aufgabe | Die Aufgabe wurde zwar schonmal gestellt, aber eine Teilaufgabe ist mir immer noch nicht klar.
V ist der Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens 2 und es sei [mm] U=Lin(x^2-2x+3)
[/mm]
a) Bestimme eine Basis für V/U
b) Schreibe die Restklassen [mm] (2x^2-5x+7)+U [/mm] und [mm] (3x^2+x-1)+U [/mm] als Linearkombination der Basis aus a) dar. |
ok...ich schreibe nochmal schnell wie man die Basis von V/U ermittelt hat.
1. Basis von U und V bestimmen
[mm] U:={x^2-2x+3}
[/mm]
[mm] V:={x^2,x,1}
[/mm]
2. Ergänze die Basis von U zu einer Basis von V
dimU=1
dimV=3
dim(V/U)=dimV-dimU=3-1=2
Also muss dim(V/U)=2 gelten.
[mm] B_{V/U}=p+
[/mm]
Die Ergänze Basis U zu V lautet: [mm] (x^2-2x+3,x,x^2) [/mm]
Überprüfung auf Linearität:
[mm] \lambda_1(x^2-2x+3)+\lambda_2(x)+\lambda_3(x^2)=0
[/mm]
[mm] x^2(\lambda_1+\lambda_3)+x(\lambda_2-2*\lambda_1)+3*\lambda_3=0
[/mm]
[mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 [/mm] daher ist die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen.
Die Basis [mm] B_{V/U} [/mm] lautet demnach
[mm] B_{V/U}=(x+, x^2+)
[/mm]
Okay..Nun kommt das eigentlich Problem was ich gerne mal verstehen würde.
Die Restklassen [mm] (2x^2-5x+7)+U [/mm] und [mm] (3x^2+x-1)+U [/mm] sollen als Linearkombination von der Basis [mm] B_{V/U} [/mm] dargestellt werden.
Ich weiß dass gelten muss:
[mm] [2x^2-5x+7]=\bruch{1}{3}[x^2]-\bruch{1}{3}[x]
[/mm]
[mm] [3x^2-x+1]=\bruch{10}{3}[x^2]+\bruch{1}{3}[x]
[/mm]
könnt ihr mir vielleicht nochmal erklären wie man darauf kommt?
MfG
Mathegirl
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> V ist der Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten
> vom Grad höchstens 2 und es sei [mm]U=Lin(x^2-2x+3)[/mm]
>
> a) Bestimme eine Basis für V/U
> b) Schreibe die Restklassen [mm](2x^2-5x+7)+U[/mm] und [mm](3x^2+x-1)+U[/mm]
> als Linearkombination der Basis aus a) dar.
>
>
>
> ok...ich schreibe nochmal schnell wie man die Basis von V/U
> ermittelt hat.
>
> 1. Basis von U und V bestimmen
> [mm]U:={x^2-2x+3}[/mm]
> [mm]V:={x^2,x,1}[/mm]
>
>
> 2. Ergänze die Basis von U zu einer Basis von V
> dimU=1
> dimV=3
> dim(V/U)=dimV-dimU=3-1=2
>
> Also muss dim(V/U)=2 gelten.
>
>
> Die Ergänze Basis U zu V lautet: [mm](x^2-2x+3,x,x^2)[/mm]
>
> Überprüfung auf Linearität:
Auf lineare Unabhängigkeit!
> [mm]\lambda_1(x^2-2x+3)+\lambda_2(x)+\lambda_3(x^2)=0[/mm]
>
> [mm]x^2(\lambda_1+\lambda_3)+x(\lambda_2-2*\lambda_1)+3*\lambda_3=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm] daher ist die lineare
> Unabhängigkeit nachgewiesen.
>
> Die Basis [mm]B_{V/U}[/mm] lautet demnach
> [mm]B_{V/U}=(x+, x^2+)[/mm]
Ja.
>
>
> Okay..Nun kommt das eigentlich Problem was ich gerne mal
> verstehen würde.
>
> Die Restklassen [mm](2x^2-5x+7)+U[/mm] und [mm](3x^2+x-1)+U[/mm] sollen als
> Linearkombination von der Basis [mm]B_{V/U}[/mm] dargestellt
> werden.
Du suchst also [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] mit
[mm](2x^2-5x+7)+U[/mm][mm] =\lambda_1(x+U)+\lambda_2(x^2+U).
[/mm]
Wenn Du Dir jetzt anschaust, was Ihr zum Rechnen mit Äquivalenzklassen notiert habt, dann siehst Du, daß Obiges äquivalent ist zu
[mm](2x^2-5x+7)+U[/mm][mm] =(\lambda_1x+\lambda_2x^2)+U
[/mm]
Wann gilt diese Gleichheit? Wenn
[mm] (2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2)\in [/mm] U,
dh. wenn [mm] (2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2) [/mm] ein Vielfaches von [mm] x^2-2x+3 [/mm] ist.
Für welche [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] dies der Fall ist, mußt Du herausfinden.
LG Angela
>
> Ich weiß dass gelten muss:
> [mm][2x^2-5x+7]=\bruch{1}{3}[x^2]-\bruch{1}{3}[x][/mm]
>
> [mm][3x^2-x+1]=\bruch{10}{3}[x^2]+\bruch{1}{3}[x][/mm]
>
> könnt ihr mir vielleicht nochmal erklären wie man darauf
> kommt?
>
>
> MfG
> Mathegirl
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> dh. wenn [mm](2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2)[/mm] ein
> Vielfaches von [mm]x^2-2x+3[/mm] ist.
> Für welche [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] dies der Fall ist, mußt
> Du herausfinden.
>
Und da weiß ich nicht wie ich das rausfinde, so dass ein Vielfaches von [mm] x^2-2x+3 [/mm] ist. Ich habe die Lösung eingesetzt aber irgendwie verstehe ich es nicht wie man darauf kommt bzw. inwieweit da ein vielfaches sichtbar wird.
> > [mm][2x^2-5x+7]=\bruch{1}{3}[x^2]-\bruch{1}{3}[x][/mm]
> >
> > [mm][3x^2-x+1]=\bruch{10}{3}[x^2]+\bruch{1}{3}[x][/mm]
> >
> > könnt ihr mir vielleicht nochmal erklären wie man darauf
> > kommt?
> >
MfG
Mathegirl
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> > dh. wenn [mm](2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2)[/mm] ein
> > Vielfaches von [mm]x^2-2x+3[/mm] ist.
>
> > Für welche [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] dies der Fall ist, mußt
> > Du herausfinden.
> >
> Und da weiß ich nicht wie ich das rausfinde, so dass ein
> Vielfaches von [mm]x^2-2x+3[/mm] ist.
Hallo,
welche Gleichung hast Du denn dastehen, wenn Du wissen willst, wann [mm] $(2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2)$ [/mm] ein Vielfaches von [mm] $x^2-2x+3$ [/mm] ist?
Sortiere nun nach Potenzen von x und vergleiche die Koeffizienten.
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mo 19.03.2012 | | Autor: | triad |
$ [mm] (2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2) [/mm] $
Sortieren nach Potenzen von x:
$ [mm] (2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2) [/mm] $ | Minusklammer auflösen
$ [mm] (2x^2-5x+7)-\lambda_1x-\lambda_2x^2) [/mm] $ | sortieren/ausklammern
$ [mm] (2-\lambda_2)x^2-(5+\lambda_1)x+7) [/mm] $ | das soll ein Vielfaches von U sein also
$ [mm] (2-\lambda_2)x^2-(5+\lambda_1)x+7) [/mm] $ [mm] \in [/mm] U = Lin(x²-2x+3)
Der nächste Schritt wäre (so mache ich es immer), entsprechende Gleichungen aufzustellen um die Koeffizienten [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] zu bestimmen. Da wir in $ [mm] B_{V/U}=([x], [x^2]) [/mm] $ nicht den Basisvektor 1 haben, müssen wir überlegen wie wir von der +3 von (x²-2x+3) (das ist U) auf unser +7 von [mm] (2x^2-5x+7) [/mm] kommen, weil ja [mm] (2x^2-5x+7) [/mm] ein Vielfaches von (x²-2x+3) sein soll.
Also rechnen wir [mm] 3*\bruch{7}{3}=7.
[/mm]
[mm] \bruch{7}{3} [/mm] ist jetzt derjenige Koeffizient mit dem wir zusätzlich die Koeffizienten von U (x²-2x+3) multiplizieren müssen, um auf das Vielfache [mm] (2x^2-5x+7) [/mm] zu kommen. Jetzt muss man also nurnoch [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] so wählen, dass die Koeffizienten stimmen:
Koeffizient von x²: [mm] (2-\lambda_2) [/mm] = [mm] \bruch{7}{3}*1
[/mm]
Koeffizient von x: [mm] -(5+\lambda_1)= \bruch{7}{3}*(-2)
[/mm]
Nach [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] auflösen und das sind dann die Koeffizienten für $ [mm] \lambda_2[x^2]+\lambda_1[x] [/mm] $.
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