Faktorring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Fr 22.05.2015 | | Autor: | Ellie123 |
| Aufgabe | Sei f(x) ein Element aus dem Faktorring [mm] R=\IZ [/mm] [x] / [mm] (X^N-1) [/mm] und wir nehmen an, dass wir ein Polynom F(x) gefunden haben, welches f(x)*F(x) [mm] \equiv [/mm] 1 (mod [mm] p^i) [/mm] für ein i [mm] \ge [/mm] 1 erfüllt.
Beweisen Sie, dass das Polynom G(x)=F*(2-f*F) die Kongruenz f * [mm] G\equiv [/mm] 1 (mod [mm] p^{2i}) [/mm] erfüllt. |
Hallo zusammen,
kann mir jemand einen Tipp geben wie ich hier vorgehen kann. Ich komme irgendwie nicht weiter. Ich hatte mir überlegt, wie die Koeffiezienten von f*F in R aussehen müssten, aufgrund der Voraussetzung f(x)*F(x) [mm] \equiv [/mm] 1 (mod [mm] p^i). [/mm] Die Koeffizienten, die vor [mm] x^0 [/mm] stehen müssten doch die Form [mm] (1+kp^i) [/mm] für ein k [mm] \in \IZ [/mm] haben und die, die vor [mm] x^n [/mm] (n=1,...,(N-1)) stehen müssten doch die Form [mm] kp^i [/mm] für ein k [mm] \in \IZ [/mm] haben, oder? Sind diese Überlegungen richtig? Wenn ja kann ich damit irgendwie weitermachen oder muss ich mir etwas anderes überlegen?
Viele Grüße Ellie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Fr 22.05.2015 | | Autor: | hippias |
MUltipliziere in $fG$ die Klammer aus und fasse neu zusammen unter Ausnutzung einer binomischen Formel. Dann kannst Du es sehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 So 24.05.2015 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo nochmal,
ich komme irgendwie nicht klar.
> MUltipliziere in [mm]fG[/mm] die Klammer aus und fasse neu zusammen
> unter Ausnutzung einer binomischen Formel. Dann kannst Du
> es sehen.
Wenn ich in [mm]fG[/mm] die Klammer ausmultiplizieren, so wie du es geschrieben hast, erhalte ich ja folgendes:
[mm]fG=f(F(2-fF))=f(2F-fF^2)[/mm]
bzw. wenn ich die äußere Klammer auch noch ausmultipliziere:
[mm]fG=2fF-(fF)^2[/mm] .
Meintest du ich solle komplett ausmultiplizieren oder nur die innere Klammer?
Jedenfalls weiß ich auch nicht genau, wie ich jetzt eine binomische Formel anwenden soll. Ich könnte ja zum Beispiel mit der ersten binomischen Formel so umformen:
[mm]fG=(fF+1)^2-1,[/mm]
aber das bringt mich ja irgendwie auch nicht weiter, oder?
Welche der binomischen Formeln muss ich denn benutzen?
Was meinst du mit "Dann kannst du es sehen."? Meinst du damit einfach, dass wenn ich umforme und eine binomische Formel anwende, dann Eins herauskommt oder muss ich dann noch beachten, dass ich mich in [mm]R_{p^{2i}}[/mm] befinde?
Vielen Dank schon mal und viele Grüße,
Ellie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 So 24.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo nochmal,
> ich komme irgendwie nicht klar.
> > MUltipliziere in [mm]fG[/mm] die Klammer aus und fasse neu zusammen
> > unter Ausnutzung einer binomischen Formel. Dann kannst Du
> > es sehen.
> Wenn ich in [mm]fG[/mm] die Klammer ausmultiplizieren, so wie du es
> geschrieben hast, erhalte ich ja folgendes:
> [mm]fG=f(F(2-fF))=f(2F-fF^2)[/mm]
> bzw. wenn ich die äußere Klammer auch noch
> ausmultipliziere:
> [mm]fG=2fF-(fF)^2[/mm] .
>
> Meintest du ich solle komplett ausmultiplizieren oder nur
> die innere Klammer?
>
> Jedenfalls weiß ich auch nicht genau, wie ich jetzt eine
> binomische Formel anwenden soll. Ich könnte ja zum
> Beispiel mit der ersten binomischen Formel so umformen:
> [mm]fG=(fF+1)^2-1,[/mm]
>
> aber das bringt mich ja irgendwie auch nicht weiter, oder?
Das ist schon genau der Weg, auf den ich Dich bringen wollte. Du hast aber falsch quadratisch ergaenzt und somit Vorzeichenfehler.
>
> Welche der binomischen Formeln muss ich denn benutzen?
>
> Was meinst du mit "Dann kannst du es sehen."? Meinst du
> damit einfach, dass wenn ich umforme und eine binomische
> Formel anwende, dann Eins herauskommt oder muss ich dann
> noch beachten, dass ich mich in [mm]R_{p^{2i}}[/mm] befinde?
>
> Vielen Dank schon mal und viele Grüße,
> Ellie.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 28.05.2015 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo nochmal,
danke für deine Antwort.
Leider komme ich immer noch nicht klar. Ich sehe zwar auch, dass das was ich geschrieben habe:
> > Ich könnte ja zum
> > Beispiel mit der ersten binomischen Formel so umformen:
> > [mm]fG=(fF+1)^2-1,[/mm]
nicht richtig ist, da ja [mm] (fF+1)^2-1=(fF)^2+2Ff [/mm] ist,was aber nicht gleich fG ist. Aber ich weiß trotzdem nicht, worauf das ganze genau hinauslaufen soll? Könnte ich zum Beispiel so umformen,dass [mm] (fF-1)^2+1=fG [/mm] gilt (was ja wohl sowieso nicht geht), bringt mich das doch auch nicht weiter,oder? Denn wie fF in [mm] R_{p^{2i}} [/mm] aussieht, weiß ich ja nicht!?? Oder doch?
Kann mir vielleicht jemand nocheinmal weiterhelfen?
Gruß, Ellie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Fr 29.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo nochmal,
> danke für deine Antwort.
> Leider komme ich immer noch nicht klar. Ich sehe zwar
> auch, dass das was ich geschrieben habe:
> > > Ich könnte ja zum
> > > Beispiel mit der ersten binomischen Formel so umformen:
> > > [mm]fG=(fF+1)^2-1,[/mm]
> nicht richtig ist, da ja [mm](fF+1)^2-1=(fF)^2+2Ff[/mm] ist,was
> aber nicht gleich fG ist. Aber ich weiß trotzdem nicht,
> worauf das ganze genau hinauslaufen soll?
> Könnte ich zum
> Beispiel so umformen,dass [mm](fF-1)^2+1=fG[/mm] gilt (was ja wohl
> sowieso nicht geht), bringt mich das doch auch nicht
> weiter,oder? Denn wie fF in [mm]R_{p^{2i}}[/mm] aussieht, weiß ich
> ja nicht!?? Oder doch?
Sagen wir mal [mm] $(fF-1)^2+1=fG$ [/mm] waere richtig (ist es nicht, aber bis auf einen Vorzeichenfehler ist das genau der richtige Term). Nun weisst Du, dass [mm] $fF\equiv_{p^{i}}1$ [/mm] ist. Anders gesagt [mm] $p^{i}$ [/mm] teilt das Polynom $fF-1$ (in $R$). Dann teilt [mm] $p^{2i}$ [/mm] das Polynom [mm] $(fF-1)^{2}$ [/mm] und es laesst sich also prima damit in [mm] $R_{p^{2i}}$ [/mm] arbeiten, denn es folgte [mm] $fg\equiv_{R_{p^{2i}}} [/mm] 1$.
>
> Kann mir vielleicht jemand nocheinmal weiterhelfen?
>
> Gruß, Ellie
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Di 02.06.2015 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo Hippias,
vielen, vielen Dank. Ich habs jetzt wohl kapiert. Ich kann also umformen zu
[mm] -(fF-1)^2+1 [/mm] und [mm] (fF-1)^2 [/mm] fällt in [mm] R_{p^{2i}} [/mm] weg, da [mm] p^{2i} [/mm] den Ausdruck [mm] (fF-1)^2 [/mm] in R teilt.
Aber eine Frage stellt sich mir gerade noch: Warum muss p eigentlich eine Primzahl sein. Würde der Beweis nicht auch funktionieren, wenn p eine beliebige natürliche Zahl wäre?
Viele Grüße
Ellie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Di 02.06.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo Hippias,
> vielen, vielen Dank. Ich habs jetzt wohl kapiert. Ich kann
> also umformen zu
> [mm]-(fF-1)^2+1[/mm] und [mm](fF-1)^2[/mm] fällt in [mm]R_{p^{2i}}[/mm] weg, da
> [mm]p^{2i}[/mm] den Ausdruck [mm](fF-1)^2[/mm] in R teilt.
Ja.
> Aber eine Frage stellt sich mir gerade noch: Warum muss p
> eigentlich eine Primzahl sein. Würde der Beweis nicht auch
> funktionieren, wenn p eine beliebige natürliche Zahl
> wäre?
Das habe ich mich auch schon gefragt. Dein Beweis funktioniert fuer eine beliebige Zahl. Vielleicht wird das Lemma in einer Situation angewendet, in der eine Primzahl vorliegt.
>
> Viele Grüße
> Ellie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Do 04.06.2015 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo hippias,
danke nochmal.
> > Aber eine Frage stellt sich mir gerade noch: Warum muss
> p
> > eigentlich eine Primzahl sein. Würde der Beweis nicht auch
> > funktionieren, wenn p eine beliebige natürliche Zahl
> > wäre?
> Das habe ich mich auch schon gefragt. Dein Beweis
> funktioniert fuer eine beliebige Zahl. Vielleicht wird das
> Lemma in einer Situation angewendet, in der eine Primzahl
> vorliegt.
Ja, du hast Recht so ist es!
Ellie
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