Faktorring - Isomorphie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
ich wollte mal wissen, warum [mm] \IR[X]/X^2+1 \cong \IC [/mm] ist bzw. allgemeiner warum gilt:
K[X]/XK[X] [mm] \cong [/mm] K
Kann mir da jemand auch noch den bijektiven Gruppenhomomorphismus nennen im Fall der komplexen Zahlen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Mi 15.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
Es ist [mm] x^2+1 [/mm] irreduzibel über [mm] \IR \IR[x] [/mm] ist als Polynomring über einem Körper ein Hauptidealring. Somit ist jedes irreduzible Element in [mm] \IR[x] [/mm] prim. Jedes Primelement ist maximal. Daraus folgt, dass das von [mm] x^2+1 [/mm] erzeugte Ideal ein maximales ist, also ist [mm] \IR[x]/(x^2+1) [/mm] ein Körper. Dieser Körper hat Dimension 2 über [mm] \IR. [/mm] Naja nun hat [mm] \IC [/mm] auch Dimension 2 über [mm] \IR [/mm] also sind die beiden isomorph.
Die allgemeine Form die du da hingeschrieben hast versteh ich nicht. Google mal Struktursatz für endliche Körper. Steht auch im Lehrbuch Algebra vom Fischer.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Do 16.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Erstmal danke, die Schritte kann ich soweit verfolgen, stehe auch so in meinem Skript.
Was heißt es denn, wenn ein Körper die Dimension 2 hat?
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Hallo,
> Erstmal danke, die Schritte kann ich soweit verfolgen,
> stehe auch so in meinem Skript.
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> Was heißt es denn, wenn ein Körper die Dimension 2 hat?
Na, um in dem Bsp. zu bleiben, "[mm]\IC[/mm] hat als Körper über [mm]\IR[/mm] Dimension 2"
Dh. [mm]\IC[/mm] aufgefasst als [mm]\IR[/mm]-Vektorraum hat Dimension 2.
Eine Basis ist zB. [mm]\mathcal B \ = \ \{1,i\}[/mm]
Du kannst jede komplexe Zahl als reelle Linearkombination aus diesen beiden Basiselementen darstellen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Do 16.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ah, ok, das habe ich mir schon fast gedacht, die Sache mit:
a+bi=z, alles klar, danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mi 15.08.2012 | | Autor: | hippias |
Man kann auch den Einsetzungshomomorphismus [mm] $\phi:\IR[X]\to \IC$ [/mm] mit [mm] $X\mapsto [/mm] i$ untersuchen, wobei $i$ fuer die imaginaere Einheit steht. Wenn Du den Kern von [mm] $\phi$ [/mm] bestimmst, erhaelst Du die Isomorphie aus dem Isomorphiesatz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Do 16.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Das heißt ich habe eine Polynom, jage eine Zahl durch und erhalte eine komplexe Zahl? Der Kern sind ja alle Element, die auf die 0 abgebildet werden, das kann ich doch so ohne weiteres gar nicht bestimmen oder? Aber es geht ja immernoch um Faktorringe und da ist der Kern ja I oder? Sprich in dem Fall wäre der Kern [mm] X^2+1 [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Do 16.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, du nimmst ein Polynom mit Koeffizienten in [mm] \IR [/mm] und setzt für alle X ein i ein. Genau, und der Kern von dem ganzen Ding wäre das Hauptideal [mm] (X^2+1). [/mm] Also nicht nur [mm] X^2+1, [/mm] sondern ganz [mm] (X^2+1)*\IR[X].
[/mm]
Dann gilt nach Homomorphiesatz [mm] \IR[X]/ker\phi\cong bild\phi, [/mm] d.h. [mm] \IR[X]/(X^2+1)\cong \IC.
[/mm]
Einen Körperisomorphismus kannst du so bekommen:
In [mm] \IC [/mm] sehen die Elemente wie a+ib aus. In [mm] \IR[X]/(X^2+1) [/mm] sehen die Elemente wie v+w*X aus (mit a,b,v,w [mm] \in \IR).
[/mm]
Dann liegt es nah, einfach mal die Abbildung [mm] \Phi(z)=\Phi(a+ib)=a+b*X [/mm] auszuprobieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 16.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Also v ist dann der Rest und w*X wäre dann das Modulo, sprich v [mm] mod(X^2+1), [/mm] richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Do 16.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Was meinst du genau?
Also wenn du da modulo [mm] X^2+1 [/mm] rechnest, ist immer das ganze Polynom v+wX der Rest. Beispiel:
Nimm [mm] X^3+2*X^2+1\in \IR[X]. [/mm] Dann ist [mm] X^3+2*X^2+1 \equiv [/mm] -x-1 [mm] \mod X^2+1
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Do 16.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Achso, ja, also das Ergebnis vom Modulo ist in der Form v+w*X, z.B. -x-1, da ist w=-1 und v=-1 und X=x, hab ich etwas undeutlich aufgeschrieben, denke nun habe ich es, danke!
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