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| Aufgabe | | Gegeben ein (i. A. nicht kommutativen) Ring R. Das Radikal rad(R) von R ist der Schnitt aller Annihilatoren einfacher Moduln. Gegeben zwei endlich erzeugte projektive R-Moduln P und P'. Zu zeigen ist, dass diese genau dann isomorph sind, wenn P/rad(R)P und P'/rad(R)P' als R/rad(R) Moduln isomorph sind. |
Hallo allerseits,
ich habe bei dieser Aufgabe keine Ahnung, wie ich die nicht triviale Richtung zeigen soll.
Ich weiß einfach nicht, wie ich von einem Isomorphismus zwischen P/rad(R)P und P'/rad(R)P' ausgehend, einen Isomorphismus zwischen P und P', geschweige denn überhaupt erstmal einen Homomorphismus konstruieren könnte, der irgendwie was mit dieser Isomorphie zu tun hätte.
Das einzige, was mir eingefallen ist, wie man einen Hom zwischen P und P' konstruieren könnte, ist die Projektivität auszunutzen, was man ja immer machen kann. Ich wähle mir einfach einen freien Modul F, den ich surjektiv auf P als auch auf P' abbilden kann. Diese Surjektionen haben einen Schnitt und ich komme von P über F nach P' und umgekehrt. Warum das allerdings ein Isomorphismus sein sollte und wie ich die Isomorphie modulo Jacobson-Radikal verwenden könnte, um das zu zeigen, sehe ich nicht.
Irgendwie kann ich mir vorstellen, dass man das nicht kommutative Nakayama-Lemma hier irgendwie verwenden kann: Ist M endlich erzeugt, M [mm] \neq [/mm] 0, so ist rad(R) M [mm] \neq [/mm] M
Wie man das hier allerdings verwenden könnte, mmh?
Hat irgendjemand eine Tipp oder eine Idee?
LG
Salamence
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Sa 10.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben ein (i. A. nicht kommutativen) Ring R. Das Radikal
> rad(R) von R ist der Schnitt aller Annihilatoren einfacher
> Moduln. Gegeben zwei endlich erzeugte projektive R-Moduln P
> und P'. Zu zeigen ist, dass diese genau dann isomorph sind,
> wenn P/rad(R)P und P'/rad(R)P' als R/rad(R) Moduln isomorph
> sind.
>
> ich habe bei dieser Aufgabe keine Ahnung, wie ich die nicht
> triviale Richtung zeigen soll.
>
> Ich weiß einfach nicht, wie ich von einem Isomorphismus
> zwischen P/rad(R)P und P'/rad(R)P' ausgehend, einen
> Isomorphismus zwischen P und P', geschweige denn überhaupt
> erstmal einen Homomorphismus konstruieren könnte, der
> irgendwie was mit dieser Isomorphie zu tun hätte.
Kennst du die ![[]](/images/popup.gif) Lifting Property von projektiven Moduln?
Damit kannst du recht einfach einen Homomorphismus finden: Betrachte die Komposition [mm] $\varphi [/mm] : P [mm] \to [/mm] P/rad(R) P [mm] \to [/mm] P' / rad(R)P'$. Dies ist ein $R$-Modulhomomorphismus. Weiterhin ist [mm] $\psi [/mm] : P' [mm] \to [/mm] P' / rad(R) P'$ ein surjektiver $R$-Modulhomomorphismus. Da $P$ projektiv ist, gibt es also einen $R$-Modulhomomorphismus [mm] $\alpha [/mm] : P [mm] \to [/mm] P'$ mit [mm] $\varphi [/mm] = [mm] \psi \circ \alpha$. [/mm] Vielleicht kannst du von diesem [mm] $\alpha$ [/mm] ja zeigen, dass es ein Isomorphismus ist.
> Das einzige, was mir eingefallen ist, wie man einen Hom
> zwischen P und P' konstruieren könnte, ist die
> Projektivität auszunutzen, was man ja immer machen kann.
> Ich wähle mir einfach einen freien Modul F, den ich
> surjektiv auf P als auch auf P' abbilden kann. Diese
> Surjektionen haben einen Schnitt und ich komme von P über
> F nach P' und umgekehrt.
So einfach geht das nicht, da die Homomorphismen zwar surjektiv, aber nicht umbedingt injektiv sind. Und das brauchst du um von $P$ via $F$ nach $P'$ zu kommen.
Wenn du allerdings weisst, dass projektive Moduln direkte Summanden von freien Moduln sind, kannst du damit die lifting property zeigen, und damit wie oben weitermachen. Oder direkt das von oben zeigen (ohne über die lifting property zu gehen).
> Irgendwie kann ich mir vorstellen, dass man das nicht
> kommutative Nakayama-Lemma hier irgendwie verwenden kann:
> Ist M endlich erzeugt, M [mm]\neq[/mm] 0, so ist rad(R) M [mm]\neq[/mm] M
> Wie man das hier allerdings verwenden könnte, mmh?
Das zeigt dir schonmal, dass $P/rad(R)P$ und $P'/rad(R)P'$ nur dann trivial sind, wenn $P$ und $P'$ selber trivial sind. Vielleicht kannst du das irgendwo im Beweis brauchen, um zu zeigen, dass etwas nicht trivial ist.
LG Felix
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