Fakultät & Binominalkoeffizien < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 So 05.02.2006 | | Autor: | Julia_1 |
| Aufgabe | 2.
Aus 20 Personen sollen drei Personen für einen Ausschuß ( 1. Vorsitzender, 2. Vorsitzender und Beisitzer) ausgewählt werden.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, diesen Ausschuß mit den verschiedenen
Positionen zu besetzen? |
Hallo.
Die o. g. Aufgabe stammt aus einem Mathematik-Brückenkurs einer FH.
Von Fakultät habe ich in Verbindung mit Mathematik bisher noch nie etwas gehört.
Gibt es so etwas wie eine allg. Formel? Ich habe selbst schon danach gegoogelt, aber nur Formeln ohne Erklärungen gefunden.
Kann mir bitte jemand ein paar verständliche Sätze zu diesem Thema schreiben und mir einen Lösungsansatz zu o. g. Aufgabe geben?
Ich wäre Euch sehr dankbar.
Viele Grüße
Julia
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Hi, Julia,
mal eine einfachere Aufgabe zur Fakultät:
In einer Urne befinden sich 4 Kugeln, nummeriert von 1 bis 4.
Die 4 Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.
Wieviele verschiedene Ergebnisse sind dabei möglich?
Nun: Für den 1.Zug hast Du noch alle 4 Kugeln zur Verfügung; also gibt's 4 Möglichkeiten.
Für den 2.Zug hast Du nur noch 3 Kugeln zur Verfügung: 3 Möglichkeiten.
Zwischenbilanz: Wieviele Möglichkeiten haben wir bisher? Mit Hilfe des Baumdiagramms lässt sich's nachrechnen: Es sind 4*3 = 12.
Weiter mit dem 3.Zug. Nur noch 2 Kugeln drin, also: 2 Möglichkeiten.
Die letzte Kugel ist dann fest: 1 Möglichkeit.
Insgesamt hast Du demnach: 4*3*2*1 = 24 Möglichkeiten.
Da solche Berechnungen in der Stochastik sehr häufig vorkommen, hat man sich eine Abkürzung ausgedacht. Statt 4*3*2*1 schreibt man 4! und nennt das: 4 Fakultät.
Die zugehörige Taste findest Du als "n!" oder manchmal auch "x!" auf dem Taschenrechner.
Aber aufpassen:
Die Taste funktioniert nur bei natürlichen Zahlen einschließlich der 0 und geht meist nur bis 69!, da die Zahlen dann die TR-Kapazität überschreiten.
Probier mal selbst: 10!, 20!, 69!, 70!
Nun zu Deiner Aufgabe:
>
> Aus 20 Personen sollen drei Personen für einen Ausschuß (1. Vorsitzender, 2. Vorsitzender und Beisitzer) ausgewählt
> werden.
> Wieviele Möglichkeiten gibt es, diesen Ausschuß mit den
> verschiedenen
> Positionen zu besetzen?
Hier brauchst Du die Fakultät nicht unbedingt. Du kannst die Sache direkt lösen:
Für den 1.Vorsitzenden hast Du 20 Möglichkeiten,
für den 2.Vorsitzenden nur noch 19 (der 1.Vorsitzende kann ja nicht gleichzeitig noch zum 2. Vors. gewählt werden, stimmt's?),
für den Beisitzer hast Du noch 18 Möglichkeiten.
Daher insgesamt: 20*19*18 = 6840 Varianten.
Du könntest die Sache aber auch mit Hilfe der Fakultät lösen.
Dabei wird folgender Gedankengang gewählt:
Du ziehst nacheinander 3 Personen aus den 20, wobei die Reihenfolge wichtig sein soll (Es ist ja für einen Gewählten nicht gleichgültig, ob er 1. Vorsitzender oder "nur" Beisitzer ist!).
Dafür gilt die Formel:
[mm] |\Omega| [/mm] = [mm] \bruch{20!}{(20-3)!}
[/mm]
oder allgemein:
[mm] |\Omega| [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!}
[/mm]
wenn Du n "Dinge" oder Personen zur Verfügung hast und davon k auswählst (k [mm] \le [/mm] n), wobei die Reihenfolge wichtig sein soll.
Auch dafür gibt es auf einem "guten" Taschenrechner eine Taste, die "nPr"-Taste.
In Deinem obigen Beispiel müsstest Du erst die 20 eingeben, dann die nPr-Taste drücken (oft "Zweitbelegung" der Multiplikationstaste), dann die 3 eintippen und anschließend auf "=" drücken.
Nun noch zum Binomialkoeffizienten:
Der wird verwendet, wenn die Reihenfolge der Gezogenen keine Rolle spielt. Wenn also Deine obige Aufgabe abgewandelt hieße:
Aus 20 Personen sollen drei Personen für einen Ausschuß
gleichberechtigter Personen ausgewählt werden.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, diesen Ausschuß zu besetzen?
Dann könnte man die 3 Personen gegebenfalls sogar gleichzeitig "ziehen", weil keiner dem anderen "vorstünde".
Dann ergibt sich das Ganze als
[mm] |\Omega| [/mm] = [mm] \bruch{20!}{(20-3)!*3!} [/mm] = 1140
oder allgemein:
[mm] |\Omega| [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*k!}
[/mm]
Dies wird mit [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] abgekürzt und in der Stochastik als "k aus n" gelesen.
(In der Analysis liest man denselben Ausdruck übrigens auch als "n über k".)
Die entsprechende Taste auf dem Taschenrechner ist die "nCr"-Taste.
Ach ja: Den Binomialkoeffizienten braucht man auch beim Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei Lotterien.
So ist unser Samstags-Lotto "6 aus 49" ja sogar nach dem zugehörigen Binomialkoeffizienten benannt: [mm] \vektor{49 \\ 6}
[/mm]
Rechne das mal aus und Du weißt, welche Chance Du hast, beim Lotto-Spiel 6 Richtige zu kriegen: 1 zu ca. 14 Millionen.
mfG!
Zwerglein
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