Fakultätrechnen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Squall |
Guten Abend,
Wir haben heute in der Schule Aufgaben gehabt, bei der man die Möglichkeiten raus zählt. Beispielsweise gibt es Ein Fahrrad in 2 verschiedenen Farben, 3 verschiedene Lenkertypen, 5 verschiedene Bremsen und 3 verschiedene Klingeltypen. Davon sollten wir mit Hilfe von Tabellen die Möglichkeiten raus suchen, was alles möglich ist auszuwählen. Dabei ist mir bei einer Aufgabe aufgefallen, dass wenn ich die Typen multipliziere, ebenfalls auf das Ergebnis komme. Zumindest war das bei einer Aufgabe der Fall. (Also in diesem Fall: 2*3*5*3=90.)
Dann hatten wir aber eine Aufgabe, bei der ich das nicht ganz hin bekommen habe.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, aus einem Glas mit fünf unterschiedlich gefärbten Kugeln (gelb, rot, blau, weiß, schwarz) zwei herauszunehmen?
Die gezogenen Kugeln sollen nicht wieder zurückgelegt werden.
Als Ergebnis kommt 20 heraus. Aber dennoch verstehe ich das nicht ganz. Es sind zwar insgesamt 5 Kugeln, aber wenn ich 2 herausnehme, dann sind es doch 3 und nicht 4?
Ich hoffe ihr erkennt mein Problem und könnt mir weiterhelfen, und eventuell genau erklären wie Fakultät rechnen funktioniert.
Danke
Gruß, Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hallo=)
Du hast eine Box mit fünf verschiedenen Kugeln.
Nun ziehst du ohne Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge.
Für die erste Kugel hast du 5 Möglichkeiten.
Dann sind noch 4 Kugeln in der Box, also hast du für die zweite Kugel noch 4 Möglichkeiten.
Das ergibt, da du die Reihenfolge beachtest:
N=5*4=20
Wenn du das ganze mit Fakultäten rechnen magst, musst du es so machen:
[mm] N=\bruch{5!}{3!}=\bruch{5!}{(5-2)!}
[/mm]
Soweit okay?
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Squall |
Hallo Kroni,
soweit zu dem 5*4 habe ich nun auch verstanden. Vielen Dank.
Aber diese zweite Rechnung ist noch ein wenig kompliziert. Ich habe heute erst gelernt, was es mit dem ZAHL! auf sich hat. Ganz verstanden aber noch nicht ganz.
Unser Lehrer hat uns das so erklärt, wenn da steht Schreibe die Möglichkeiten für einen Würfel auf. , dann könnte man 1,2,3,4,5,6 schreiben. Vereinfachte Schreibweise 6! (zumindest habe ich das Ganze so verstanden.)
Was ist aber, wenn man 3 Würfel hat? Okay, an sich nicht schwer, aber wie funktioniert das mit den ZAHL!-Zahlen?
Wenn ich das verstehe, dann verstehe ich warscheinlich auch die Rechnung, die du darunter gesetzt hast. :)
Danke
Gruß, Christian
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Hallo,
normalerweise mein Fakultät folgendes:
5! = 1*2*3*4*5
Also jeweils die Zahlen bis zur höchsten Zahl multiplizieren ;)
So habe ich das im Mathematik-Kontext gesehen, vielleicht ist dein Lehrer auch zu faul immer alle Zahlen auszuschreiben :)
Mit 3 Würfeln würde es ähnlich funktionieren:
Wenn du z.b. die Anzahl der Möglichkeiten für Zahlenkombinationen von 3 Würfeln bei einem Wurf haben willst, dann ist es bei einem Würfel so, dass die maximale Anzahl der Kombinationen wie folgt berechnet wird:
[mm] 6^x [/mm] (x = Anzahl der Würfel)
Wenn du nun wissen wollen würdest, wieviele Möglichkeiten es gibt, das z.b. bei 3 Würfeln mit einem 1 Wurf alle 3 Würfel die gleiche Augenzahl aufweisen, also 3 3en oder so, dann gehst du wie folgt vor:
Für den ersten Würfel gibt es logischerweise 6 Möglichkeiten eine Zahl zu würfeln. Für die anderen beiden gibt es dann nur noch 1 Möglichkeit, da die Zahlen die dann folgen ja genau gleich sein müssen mit der Ersten:
6*1*1= 6 Möglichkeiten 3 gleiche Zahlen zu Würfeln.
Gruß Trampel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Squall |
Trampel, Danke für deine Antwort. Soweit habe ich es nun auch verstanden. Vielen Dank.
Wenn ich nun also die Rechnung von Kroni aufgreife [mm] N=\bruch{5!}{3!}=\bruch{5!}{(5-2!)} [/mm] dann frage ich mich nur, wie diese Rechnung nun gerechnet wird. Denn eine normale geteilt-Aufgabe kann es ja nicht sein. Als Ergebnis habe ich ja 20. Aber wenn ich [mm] \bruch{5}{3} [/mm] rechne, so bekomme ich 1,666666667 als Ergebnis, was nun aber mit dem Endergebnis nicht übereinstimmt. Was habe ich also falsch gemacht?
Danke
Gruß, Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich schreib die Rechnung mal ganz ausfürhlich hin:
[mm] N=\bruch{5!}{(5-2)!}=\bruch{5!}{3!}=\bruch{5*4*3*2*1}{3*2*1}
[/mm]
So, und jetzt kürzt sich das 3*2*1 raus, so dass
N=5*4 über bleibt.
Soweit okay?
Slaín,
Kroni
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Hallo
Obacht mit der Klammerung!!
Es muss heißen [mm] \bruch{5!}{(5-2)!} [/mm] 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Oh dear....peinlich peinlich
Ich meinte zwar auch (5-3)!, aber im Formeleditor ist mir da das ! eine Klammer zu weit reingerutscht....
Danke für den Hinweis.
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Squall |
Hallo Kroni,
Danke dir nochmal.
Ich habe mir im Nachhinein noch einmal die Rechnungen angeschaut, und dann ist mir es selber aufgefallen. Ich hatte nicht daran gedacht, diese Zahlen "umzuwandeln". Ich danke dir und Trampel aber vielmals!
Danke
Gruß, Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Squall |
Hallo Kroni & Co.,
Ich bin's nochmal. Ich habe das ganze mit Fakultäts rechnen verstanden, kann es aber bei anderen Aufgaben eher schlecht bis garnicht einsetzen. Das Thema lautet [i]Mehrstufige Zufallsversuche[i]. Dabei befand sich auch die Aufgabe mit den Murmeln.
Hier die Aufgabe 1:
Ein Lehrer hat vier Buchstabenkarten mit den Buchstaben: K, E, O, A. Er lässt jeden seiner 30 Schüler und Schülerinnen ziehen und vereinbart vorher: Jeder, der in zwei Zügen "OK" erhält, bekommt einen Kaugummi.
Wie viele Kaugummis sollte der Lehrer mindestens bereithalten?
Als ich aber die Aufgabe angestarrt habe, bin ich einfach nicht darauf gekommen, wie genau man das rechnen muss, oder die Fakultätsrechnung einsetzt. Also habe ich mal im Internet nach "Mehrstufige Zuffalsversuche" gesucht und habe folgendes gefunden:
![[]](/images/popup.gif) http://brinkmann-du.de/mathe/gost/stoch_01_05.htm
Da steht etwas weiter unten eine Formel, die ich leider auch nicht ganz nachvollziehen kann. Ich habe aber versucht meine Zahlen einzusetzen:
[mm]\bruch{2}{5}*\bruch{1}{4}=11,5[/mm]
Ich habe gedacht, dass die 2, die zwei Karten O und K angibt und die 4 ist die Anzahl. Der 2. Bruch nach dem * ist die Anzahl die "weg" ist geteilt durch die maximale Anzahl. Wie genau wäre diese Formel richtig interpretiert? Oder stimmt es sogar so, wie ich es denke?
Dann ist dort noch eine Aufgabe in die ich diese Fakultätsrechnung nicht reinbekomme.
Eine Fahrradfirma bietet für die nächste Saison die Neuentwicklungen eines Rades in folgenden Ausführungen an:
Rahmenfarbe: Silber, anthrazit, metallic-blau;
Felgen: Stahl, Alu;
Federung: Nur hinten, Vollfederung vorn und hinten.
Das habe ich einfach die Anzahl multipliziert. Also 3*2*2 und ich komme auf das richtige Ergebnis.
Nur wie kann ich diese Formeln in beide einsetzen?
ps: Es tut mir Leid, das ich so störend bin, aber ich brauche immer 1,2 manchmal auch 3 Beispiele bis ich es wirklich verstehe... Nunja...
Danke
Gruß, Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zu deiner ersten Frage kann ich dir folgendes Sagen:
Du hast, wie du richtig sagst, einen mehrstufigen Zufallsversuch.
Stell doch mal ein Baumdiagramm auf....
Dort wirst du dann sehen:
Du hast vier verschiedene Kärtchen.
Die Wahrscheinlichkeit für ein O ist 1/4, die Wahrscheinlichkeit für ein K ist danach 1/3
Nun kann es aber auch sein, dass du erst ein K zeihst=>p=1/4 und danach musst du dann ein O ziehen, dafür ist die Wahrscheinlichkeit 1/3 =>
Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, mit Zwei Zügen das Wort OK zu bekommen 2*1/4*1/3 =1/6 ist.
Nun gut...Die Wahrscheinlichkeit, ein OK zu bekommen ist 1/6. Nun sagt die Vernunft, dass man dann bei 6 Leuten, die Ziehen 1 Gewinner dabei hat.
D.h. auf 30 Schüler hochgerechnet, ergibt das 30*1/6=5 Gewinner.
D.h. der Lehrer sollte mindestens 5 Kaugummis dabei haben.
Hier sind wir schon so halb dann in die Wahrscheinlichkeitsrechung eingedrungen, welches auch zur Stochastik gehört, aber nicht mehr reine Kombinatorik ist.
Slaín,
Kroni
PS: Deine letzte Aufgabe gehört wieder zur Kombinatorik:
Für den Rahmen habe ich 3 Möglichkeiten...
Für die Felgen habe ich zwei Möglichkeiten=>
Das kannst du noch im Kopf durchgehen:
Habe ich Rahmen 1, so habe 2 Möglichkeiten, die Felgen anzuordenen.
Habe ich Rahmen 2, so habe ich immer noch zwei Möglichkeiten, die dazugehörigen Felgen auszuwählen etc...
Diese Überlegung führt zu deinem Term N=3*2*2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Do 22.02.2007 | | Autor: | Squall |
Hallo Kroni,
Vielen Dank für deine Antwort. Ich denke nun steige ich langsam dahinter. Ich habe versucht eine Formel / Rechnung zu verwenden an einer Aufgabe an der dieser Rechentyp nicht funktioniert, weil es völlig andres gefragt war.
Wie schon gesagt: Vielen Dank!
Gruß, Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 25.02.2007 | | Autor: | Squall |
Guten Mittag,
Ich habe zu dieser Aufgabe nochmal eine Frage.
Er sagte aber, dass das nicht korrekt sei. Er kommt immer auf ein Ergebnis von 10 und ich nun auf 12.
Ich habe folgendes gerechnet: [mm]\bruch{4!}{2!}[/mm] oder auch 4*3
Was mache ich, Kroni oder mein Lehrer falsch? Was ist denn nun richtig? Und wie und wieso?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 So 25.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
welche Aufgabe meinst du denn jetzt?
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 So 25.02.2007 | | Autor: | Squall |
Diese hier:
Ein Lehrer hat vier Buchstabenkarten mit den Buchstaben: K, E, O, A. Er lässt jeden seiner 30 Schüler und Schülerinnen ziehen und vereinbart vorher: Jeder, der in zwei Zügen "OK" erhält, bekommt einen Kaugummi.
Wie viele Kaugummis sollte der Lehrer mindestens bereithalten?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 So 25.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
also ich bleibe eigentlich dabei:
Die Wahrscheinlichkeit mit zwei Zügen ein OK zu bekommen ist p=1/6.
Bei 30 Schülern macht das dann einen Erwartungswert von 30/6=5, die gewinnen.
Wie hat dein Lehrer das denn gerechnet?
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 So 25.02.2007 | | Autor: | Squall |
Hallo Kroni,
Deine Art und Weise kann ich evenfalls nachvollziehen, wie die von meinem Lehrer. Leider weiß ich nicht mehr so aus dem Kopf, was er gerechnet hat. Hatte auch nicht daran gedacht, es aufzuschreiben.
Nunja, aber ich kenne noch ein paar Zahlen.
Die Rechnung müsste irgendwie so sein:
X = 0,333333333 * 30 = 10
Wobei X ja der Teil ist, wo ich nicht mehr genau weiß, was er gerechnet hat.
Danke
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Hallo Christian,
> Ich habe folgendes gerechnet: [mm]\bruch{4!}{2!}[/mm] oder auch
> 4*3
Ich würde sagen das sieht gut aus. Die W'keit das ein Schüler "OK" konstruiert ist also [mm]\tfrac{1}{4\cdot{3}}[/mm], was auch zugleich der Erwartungswert ist, wenn die Klasse aus nur einem Schüler bestehen würde. D.h. der Lehrer bräuchte da wohl kein Kaugummi zum Unterricht mitzubringen (na ja, ok als Trost vielleicht ). Aber bei 30 Schülern beträgt der Erwartungswert bereits
[mm]\underbrace{1\cdot{\frac{1}{12}}+\dotsm +1\cdot{\frac{1}{12}}}_{30\texttt{ Summanden}} = \frac{30}{12} = 2.5 \approx 3.[/mm]
Das heißt ungefähr 3 Schüler könnten es schaffen und der Lehrer sollte entsprechend 3 Kaugummis dabeihaben.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 So 25.02.2007 | | Autor: | Squall |
Ja, genau! Das mit den 10 war sein erster Wert. Als ich ihn aber darauf angesprochen hatte, hatte er die Aufgabe noch einmal neu gemacht. Er kam dann auch auf 0,08...
Ich kam aber die ganze Zeit nicht auf die Rechnung. Nur wieso muss man da [mm] \bruch{1}{12} [/mm] rechnen? Die 1 ist jeweils 1 Schüler. Aber was ist nun die 12? Ist das eine Prozentangabe oder einfach nur eine Zwischensumme, die eigentlich nichts darstellt?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 So 25.02.2007 | | Autor: | Kroni |
> Ja, genau! Das mit den 10 war sein erster Wert. Als ich ihn
> aber darauf angesprochen hatte, hatte er die Aufgabe noch
> einmal neu gemacht. Er kam dann auch auf 0,08...
Gut, also sagte dein Lehrer, die Wahrscheinlichkeit für das Wort "OK" sei 1/3.
Das erklärt dann seine 10 Kaugummis.
Dann hat er meine Wahrscheinlichkeit von 1/6 noch mal zwei genommen, weil er wohl dachte, dass man KO auch als OK werten muss.
Das habe ich auch schon beachtet, komme aber auf p=1/6, welches meiner Meinung auch richtig ist, unter der Annahme, dass die Reihenfolge egal ist.
Ist nun Anssichtssache, was man unter "jeder, der in zwei Zügen "OK" erhält.
Erhalte ich nicht auch "OK", wenn ich erst das K und dann das O ziehe?!?
Gut, daran scheiden sich wohl die Geister.
Unter der Annahme, dass die Reihenfolge nicht egal sei, ist die Wahrscheinlichkeit für "OK" 1/12.
Da wird sich dein Lehrer wohl verrechnet haben (oder ich, was ich aber aufgrund mehrerer verschiedener Rechenwege, die mir plausibel sind, nicht sein kann).
> Ich kam aber die ganze Zeit nicht auf die Rechnung. Nur
> wieso muss man da [mm]\bruch{1}{12}[/mm] rechnen? Die 1 ist jeweils
> 1 Schüler. Aber was ist nun die 12? Ist das eine
> Prozentangabe oder einfach nur eine Zwischensumme, die
> eigentlich nichts darstellt?
>
> Danke
Angenommen, meine Wahrscheinlichkeit für P("OK")=1/6 (wobei ich hier nochmal sage: das OK fasst auch die Reihenfolge KO mit ein!) stimmt, dann muss man folgende ÜBerlegung leisten:
30 Schüler nehmen an der Verlosung teil.
1/6 von den 30 Schülern gewinnen (da P(Gewinn)=1/6) => 30*1/6=5 Schüler, die gewinnen.
Das ist dann der sog. Erwartungswert.
Ansonsten ist der Erwartungswert: 30*1/12=2,5 => Er müsste 3 Kaugummis haben
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 So 25.02.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Zusammen,
> Die Wahrscheinlichkeit für ein O ist 1/4, die
> Wahrscheinlichkeit für ein K ist danach 1/3
> Nun kann es aber auch sein, dass du erst ein K
> zeihst=>p=1/4 und danach musst du dann ein O ziehen, dafür
> ist die Wahrscheinlichkeit 1/3 =>
> Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, mit Zwei Zügen
> das Wort OK zu bekommen 2*1/4*1/3 =1/6 ist.
Also angenommen wir haben zwei Kärtchen A und B. Wie groß ist die W'keit daraus in zwei Zügen das Wort AB zu ziehen? Jetzt übertrage ich mal die obige Argumentation darauf:
Die Wahrscheinlichkeit für ein A ist 1/2, die
Wahrscheinlichkeit für ein B ist danach 1
Nun kann es aber auch sein, dass du erst ein B
zeihst=>p=1/2 und danach musst du dann ein A ziehen, dafür
ist die Wahrscheinlichkeit 1 =>
Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, mit Zwei Zügen
das Wort AB zu bekommen 2*1/2*1 =1 ist."
Mit anderen Worten aus zwei Laplace-Karten mit den Buchstaben A und B kann man immer erst A und dann B ziehen. BA ist ja dann gemäß obiger Argumentation nie möglich. nette Karten
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 So 25.02.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Zusammen,
>
>
> > Die Wahrscheinlichkeit für ein O ist 1/4, die
> > Wahrscheinlichkeit für ein K ist danach 1/3
> > Nun kann es aber auch sein, dass du erst ein K
> > zeihst=>p=1/4 und danach musst du dann ein O ziehen, dafür
> > ist die Wahrscheinlichkeit 1/3 =>
> > Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, mit Zwei
=> Zügen
> > das Wort OK zu bekommen 2*1/4*1/3 =1/6 ist.
>
>
> Also angenommen wir haben zwei Kärtchen A und B. Wie groß
> ist die W'keit daraus in zwei Zügen das Wort AB zu ziehen?
> Jetzt übertrage ich mal die obige Argumentation darauf:
>
>
> Die Wahrscheinlichkeit für ein A ist 1/2, die
> Wahrscheinlichkeit für ein B ist danach 1
> Nun kann es aber auch sein, dass du erst ein B
> zeihst=>p=1/2 und danach musst du dann ein A ziehen, dafür
> ist die Wahrscheinlichkeit 1 =>
> Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, mit Zwei Zügen
> das Wort AB zu bekommen 2*1/2*1 =1 ist."
NEIN. Eben nicht.
Du hast meine Argumentation missverstanden.
Die Wahrscheinlichkeit für A im ersten Zug ist 1/2. Danach ist die Wahrscheinlichkeit für B 1.
Nun kannst du aber auch im ersten Zug B mit p=0,5 bekommen und dann ist die Wahrscheinlichkeit für A 1.
Das ergibt:
P=0,5*1+0,5*1=2*0,5=1
Ich denke, ich habe deine Denkweise jetzt noch weiter verstanden:
Ich habe angenommen, dass die Reihenfolge egal ist.
>
>
> Mit anderen Worten aus zwei Laplace-Karten mit den
> Buchstaben A und B kann man immer erst A und dann B ziehen.
> BA ist ja dann gemäß obiger Argumentation nie möglich.
> nette Karten
Du hast meine Argumentation und den Zusammenhang nicht verstanden!
Die Argumentation kann ich ja nochmal bringen:
P("OK")=1/4*1/3
P("KO")=1/4*1/3
Da die Reihenfolge egal ist:
P("OK")=1/12*2=1/6
Verstehst du jetzt meine Argumentation unter der Annahme, dass die Reihenfolge egal ist?
>
>
> Grüße
> Karl
>
>
>
Wie gesagt, ich bleibe dabei: Die Wahrscheinlichkeit, dass man "OK" zieht, ist 1/6, wenn man annimmt, dass die Reihenfolge egal ist
Man kann es auch noch anders Berechnen:
Man benutzt das Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen:
[mm] P=\bruch{\vektor{2 \\ 2}*\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{4 \\ 2}}
[/mm]
Aus den vier Karten ziehe ich 2. => [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten. Und dann habe ich genau 1 Möglichkeit, wenn ich die Reihenfolge nicht beachte, das Wort OK zu ziehen.
Das ergibt ebenfalls P("OK")=1/6
Slaín
Kroni
PS: Unter der Annahme, dass die Reihenfolge zählt, ist p=1/12.
Dann ist der Erwartungswert 2,5 => er sollte 3 Kaugummis zur Verfügung haben.
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