Fallender Stein < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mo 08.10.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | Stein fällt von Höhe h auf Erde, x Distanz des Steins von Oberfläche, r(0)=h
Sei [mm] r''=\bruch{-\gamma*M*\epsilon^2}{(1+\epsilon*r)^2} [/mm] mit [mm] \epsilon=\bruch{1}{R} [/mm] |
M,R Masse, bzw Radius der Erde. [mm] \gamma=Gravitationskonstante.
[/mm]
Nun habe ich den Hinweis, [mm] r(t,\epsilon)=r_0+r_1\epsilon+r_2*\epsilon^2+r_3\epsilon^3+O(\epsilon^4)) [/mm] einzusetzen.
Dies habe ich gemacht, wie löse ich dann die Diff-Gleichungen für [mm] r_0, r_1,...
[/mm]
wenn ich [mm] r''=\bruch{-\gamma*M*\epsilon^2}{(1+\epsilon*(r_0+r_1\epsilon+r_2*\epsilon^2+r_3\epsilon^3+O(\epsilon^4))))^2} [/mm] stehen habe?
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> Stein fällt von Höhe h auf Erde, x Distanz des Steins von
> Oberfläche, r(0)=h
Ein x kommt in der Folge gar nicht vor ...
Benütze also entweder x oder r, aber nicht beide durcheinander !
> Sei [mm]r''=\bruch{-\gamma*M*\epsilon^2}{(1+\epsilon*r)^2}[/mm] mit
> [mm]\epsilon=\bruch{1}{R}[/mm]
> M,R Masse, bzw Radius der Erde.
> [mm]\gamma=Gravitationskonstante.[/mm]
Wichtig zu wissen wäre jetzt auch noch, dass die zweite
Ableitung nach der Zeit t (und nicht etwa nach deinem x)
gemeint ist !
> Nun habe ich den Hinweis,
> [mm]r(t,\epsilon)=r_0+r_1\epsilon+r_2*\epsilon^2+r_3\epsilon^3+O(\epsilon^4))[/mm]
> einzusetzen.
Ich sehe nicht recht, was dieser Hinweis bringen soll,
denn R , und damit auch [mm] \epsilon [/mm] , ist ja eine Konstante.
> Dies habe ich gemacht, wie löse ich dann die
> Diff-Gleichungen für [mm]r_0, r_1,...[/mm]
>
> wenn ich
> [mm]r''=\bruch{-\gamma*M*\epsilon^2}{(1+\epsilon*(r_0+r_1\epsilon+r_2*\epsilon^2+r_3\epsilon^3+O(\epsilon^4))))^2}[/mm]
> stehen habe?
Möglicherweise hast du den Hinweis falsch interpretiert.
Vielleicht ist gemeint, dass man anstelle der Funktion
$\ x(t)$ die Funktion
[mm] $\epsilon(t):=\frac{x(t)}{R}$
[/mm]
betrachten soll ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 09.10.2012 | | Autor: | kalifat |
Was genau soll dieses x(t) sein?
Bei mir hängt r natürlich von t ab, sry dass ich das nicht erwähnt habe.
Ich denke auch, dass ich den Hinweis falsch verstanden habe, nur mir fällt leider dazu nichts mehr ein (Ich habe sogar schon r'' entwicklen lassen, hat nichts gebracht), würde mich über jeden Vorschlag freuen.
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> Was genau soll dieses x(t) sein?
das x hast du selber eingeführt:
"x Distanz des Steins von Oberfläche"
und es dann in der Folge nicht mehr benützt, sondern
offenbar durch r ersetzt.
> Bei mir hängt r natürlich von t ab, sry dass ich das
> nicht erwähnt habe.
Ich denke, dass die Differentialgleichung etwas einfacher
würde, wenn man anstatt der Distanz von der Erdober-
fläche die Distanz des fallenden Objekts vom Erdmittel-
punkt nimmt.
Für meine eigene Rechnung habe ich dann diese
Distanz mit r(t) bezeichnet.
Die formale Lösung der DGL wird aber offenbar etwas
schwierig, weshalb eine Reihenentwicklung dann allen-
falls schon Sinn machen könnte. Weil vermutlich auch
in dieser Aufgabe vor allem relativ kleine Fallhöhen
(im Vergleich zum Erdradius R) interessieren, ist dann
auch ein Ansatz wie
[mm] r(t)=R+x(t)=R+R*\epsilon(t)
[/mm]
brauchbar. Die ursprüngliche DGL für r(t) kann man mit
diesen Umbezeichnungen auf eine für die rein skalare
(dimensionslose) Funktion [mm] \epsilon(t) [/mm] verwandeln und
dann versuchen, diese neue DGL mittels eines Reihen-
ansatzes näherungsweise zu lösen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 09.10.2012 | | Autor: | kalifat |
Vielen Dank für deine Antwort.
Die Übungsaufgabe selbst findet man auf http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf
S.6, Problem 1.2
Ich würde es gerne genauso lösen, der Ansatz mit [mm] r(t,\epsilon) [/mm] ist aber genau das, was ich nicht ganz nachvollziehen kann.
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> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> Die Übungsaufgabe selbst findet man auf
> http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf
>
> S.6, Problem 1.2
Laut meinem Browser / Adobe Reader ist diese Datei
beschädigt und deshalb unlesbar.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Di 09.10.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich kann sie problemlos lesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Di 09.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Stein fällt von Höhe h auf Erde, x Distanz des Steins von
> Oberfläche, r(0)=h
>
> Sei [mm]r''=\bruch{-\gamma*M*\epsilon^2}{(1+\epsilon*r)^2}[/mm] mit
> [mm]\epsilon=\bruch{1}{R}[/mm]
> M,R Masse, bzw Radius der Erde.
> [mm]\gamma=Gravitationskonstante.[/mm]
>
> Nun habe ich den Hinweis,
> [mm]r(t,\epsilon)=r_0+r_1\epsilon+r_2*\epsilon^2+r_3\epsilon^3+O(\epsilon^4))[/mm]
> einzusetzen.
>
> Dies habe ich gemacht, wie löse ich dann die
> Diff-Gleichungen für [mm]r_0, r_1,...[/mm]
>
> wenn ich
> [mm]r''=\bruch{-\gamma*M*\epsilon^2}{(1+\epsilon*(r_0+r_1\epsilon+r_2*\epsilon^2+r_3\epsilon^3+O(\epsilon^4))))^2}[/mm]
> stehen habe?
Das kann man als eine Art Störungsentwicklunng nach dem Parameter [mm] $\epsilon$ [/mm] betrachten, oder als die ersten Glieder eines Potenzreihenansatzes für die Lösung der DGL.
Also zunächst einmal musst du natürlich auch [mm] $r''(t,\epsilon)=r''_0(t)+r''_1(t)\epsilon+r''_2(t)*\epsilon^2+r''_3(t)\epsilon^3+O(\epsilon^4))$ [/mm] einsetzen; und dann musst du auch den Bruch nach [mm] $\epsilon$ [/mm] entwickeln:
[mm](1+\epsilon*(r_0+r_1\epsilon+r_2*\epsilon^2+r_3\epsilon^3+O(\epsilon^4)))^2 [/mm]
[mm] = (1+\epsilon r_0+r_1\epsilon^2+r_2*\epsilon^3+r_3\epsilon^4+O(\epsilon^5)))^2 [/mm]
[mm] = 1 + \epsilon^2 r_0^2 + r_1^2\epsilon^4 + 2\epsilon r_0 +2 r_1\epsilon^2 +2r_2\epsilon^3+2r_3\epsilon^4 +2 r_0r_1\epsilon^3 +2r_0r_2\epsilon^4 + O(\epsilon^5) [/mm]
[mm] = 1 + 2 r_0 \epsilon + (r_0^2+2r_1)\epsilon^2 + (2r_0r_+2r_2)\epsilon^3 + (2r_0r_2+r_1^2+2r^3) \epsilon^4 + O(\epsilon^5) [/mm] .
Du könntest an dieser Stelle den gesamten Bruch nach [mm] $\epsilon$ [/mm] (als Taylorreihe) entwickeln, aber das ist ziemlich mühsam. Einfacher ist es, die DGL umzuschreiben:
[mm] r''(t) * (1+\epsilon r(t))^2 + \gamma*M*\epsilon^2 = 0[/mm] .
Hier setzt du [mm] $r''(t,\epsilon)=r''_0(t)+r''_1(t)\epsilon+r''_2(t)*\epsilon^2+r''_3(t)\epsilon^3+O(\epsilon^4))$ [/mm] und den Ausdruck für [mm] $(1+\epsilon r(t))^2$ [/mm] ein und sortierst nach Potenzen von [mm] $\epsilon$. [/mm] Jede Potenz von [mm] $\epsilon$ [/mm] muss für sich alleine 0 ergeben, damit bekommst du ein System von DGLen für [mm] $r_0$, [/mm] usw.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 09.10.2012 | | Autor: | kalifat |
Danke für deine Hilfe, ich habe deinen Beginn nun genommen, eingesetzt, multipliziert und die [mm] \epsilon [/mm] herausgehoben (sehr langer Term), dass schaut unegfähr so aus:
[mm] 0=\epsilon(...)+\epsilon^2*(...)+...+\epsilon^7*(...)+[r_0''+O(\epsilon^4)]
[/mm]
Also kann ich alle Klammern 0 setzen, ebenso [mm] [r_0''+O(\epsilon^4)]
[/mm]
Bei [mm] \epsilon^1 [/mm] steht zum Beispiel der Ausdruck:
[mm] 2r_0''r_0+r_1''+r_1''*O(\epsilon^5)+2r_0*O(\epsilon^4) [/mm] in der Klammer.
Wie gehe hier nun vor, um die [mm] r_0,...,r_3 [/mm] zu bestimmen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Di 09.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für deine Hilfe, ich habe deinen Beginn nun
> genommen, eingesetzt, multipliziert und die [mm]\epsilon[/mm]
> herausgehoben (sehr langer Term), dass schaut unegfähr so
> aus:
>
> [mm]0=\epsilon(...)+\epsilon^2*(...)+...+\epsilon^7*(...)+[r_0''+O(\epsilon^4)][/mm]
Das kann nicht sein, denn wenn du hinten [mm] $O(\epsilon^4)$ [/mm] stehen hast, darf keine höhere Potenz als [mm] $\epsilon^3$ [/mm] vorkommen.
>
> Also kann ich alle Klammern 0 setzen, ebenso
> [mm][r_0''+O(\epsilon^4)][/mm]
> Bei [mm]\epsilon^1[/mm] steht zum Beispiel der Ausdruck:
>
> [mm]2r_0''r_0+r_1''+r_1''*O(\epsilon^5)+2r_0*O(\epsilon^4)[/mm] in
> der Klammer.
Nein, du verstehst die Bedeutung des ![[]](/images/popup.gif) Landau-Symbols O nicht. Es steht für eine ganze Klasse von möglichen Funktionen. [mm] $O(\epsilon^4)$ [/mm] bedeutet hier: alle Terme mit [mm] $\epsilon^4$ [/mm] oder höheren Potenzen von [mm] $\epsilon$. [/mm] Und [mm] $r_0''$ [/mm] ist der Term zu [mm] $\epsilon^0$.
[/mm]
Also ist zunächst $r''_0=0$.
Dann ist [mm] $r_1''*O(\epsilon^5)+2r_0*O(\epsilon^4)=O(\epsilon^4)$ [/mm] (Terme ab Potenz [mm] $\epsilon^4$ [/mm] schließen natürlich Terme mit [mm] $\epsilon^5$ [/mm] und höher ein), und die Klammer ist
[mm] 0=2r_0''r_0+r_1'' \implies r''_1=0[/mm]
(was von vornherein klar war, da die rechte Seite der DGL den führenden Term [mm] $\epsilon^2$ [/mm] hat und daher die Terme mit [mm] $\epsilon^0$ [/mm] und [mm] $\epsilon^1$ [/mm] in $r''$ verschwinden müssen).
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mi 10.10.2012 | | Autor: | kalifat |
Ich bin nun ein wenig verunsichert, ich habe bei [mm] \epsilon^4 [/mm] zum Beispiel den Term
[mm] (\epsilon^4)*(...+((2r_0r_2+r_1^2+2r_3^3)O(\epsilon^4))
[/mm]
Wenn ich den Term nun hinten stehen hätte, müsste das bedeuten, keine höhere Potenz als [mm] \epsilon^7 [/mm] darf vorkommen, würde also passen.
Wenn ich [mm] r_0''=0=r_1'' [/mm] bei der Klammer von [mm] \epsilon^2 [/mm] einsetze, erhalte ich
[mm] \gamma*M+r_2''+r_2''*O(\epsilon^5)+(r_0^2+2r_1)O(\epsilon^4) [/mm] in der Klammer
=> [mm] 0=\gamma*M+r_2'' [/mm] => [mm] r_2''=-\gamma*M [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Do 11.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich bin nun ein wenig verunsichert, ich habe bei
> [mm]\epsilon^4[/mm] zum Beispiel den Term
>
> [mm](\epsilon^4)*(...+((2r_0r_2+r_1^2+2r_3^3)O(\epsilon^4))[/mm]
>
> Wenn ich den Term nun hinten stehen hätte, müsste das
> bedeuten, keine höhere Potenz als [mm]\epsilon^7[/mm] darf
> vorkommen, würde also passen.
>
> Wenn ich [mm]r_0''=0=r_1''[/mm] bei der Klammer von [mm]\epsilon^2[/mm]
> einsetze, erhalte ich
>
> [mm]\gamma*M+r_2''+r_2''*O(\epsilon^5)+(r_0^2+2r_1)O(\epsilon^4)[/mm]
> in der Klammer
>
> => [mm]0=\gamma*M+r_2''[/mm] => [mm]r_2''=-\gamma*M[/mm] ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das bedeutet, der erste nicht verschwindende Term in der Entwicklung für $r''(t)$ ist
[mm] r''_2*\epsilon^2 = -\bruch{\gamma M}{R^2} [/mm] ,
also gerade die Erdbeschleunigung $g$.
Viele Grüße
Rainer
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