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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Kristien |
Hallo ich habe eine Funktion f(x)= [mm] \frac{kx+1}{(x^2+2)}
[/mm]
Die Ableitung dieser Funktion lautet: [mm] \frac{2k-kx^2-2x}{x^4+4x^2+4}
[/mm]
Die Nullstellen dieser Ableitung sind: [mm] \frac{-1+\wurzel{1+2k^2}}{k}
[/mm]
und [mm] \frac{-1-\wurzel{1+2k^2}}{k}
[/mm]
Hierbei soll ich nun eine Fallentscheidung machen(je nachdem wie k bechaffen ist). Dabei würde ich doch eine bestimmte Anzahl von Nullstellen herausbekommen. Wozu brache ich die? Ich habe doch schon die 2 berechneten. Und wie bekomme ich anhand dieser Nullstellen von f'(x) die monotoniebereiche der Funktion heraus und wie soll ich mir diese Funktion dann eigentlich vorstellen?
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> Hallo ich habe eine Funktion f(x)= [mm]\frac{kx+1}{(x^2+2)}[/mm]
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> Die Ableitung dieser Funktion lautet:
> [mm]\frac{2k-kx^2-2x}{x^4+4x^2+4}[/mm]
>
> Die Nullstellen dieser Ableitung sind:
> [mm]\frac{-1+\wurzel{1+2k^2}}{k}[/mm] und [mm]\frac{-1-\wurzel{1+2k^2}}{k}[/mm]
Das ist richtig gerechnet - falls k ungleich 0 ist.
> Hierbei soll ich nun eine Fallentscheidung machen(je
> nachdem wie k bechaffen ist). Dabei würde ich doch eine
> bestimmte Anzahl von Nullstellen herausbekommen. Wozu
> brache ich die? Ich habe doch schon die 2 berechneten.
Du erhältst zwei verschiedene Nullstellen, wenn k ungleich 0 ist, sonst erhältst du nur eine (einfache) Nullstelle - das wäre ein Kandidat für eine Fallunterscheidung.
> Und wie bekomme ich anhand dieser Nullstellen von f'(x) die
> monotoniebereiche der Funktion heraus und wie soll ich mir
> diese Funktion dann eigentlich vorstellen?
Die Monotoniewechsel treten höchstens an den Nullstellen der Ableitung auf, dazwischen ist die Funktion streng monoton, und die Monotonieart wird durch das Vorzeichen der Ableitung angegeben.
Das Aussehen der Funktion unterscheidet sich, je nachdem ob k gleich 0, positiv oder negativ ist. Nimm dir einfach einen Funktionsplotter und zeichne sie für k=0, k=1, k=-1, um einen Eindruck zu erhalten.
Gruß,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 03.09.2006 | | Autor: | Kristien |
>>Du erhältst zwei verschiedene Nullstellen, wenn k ungleich 0 ist, sonst erhältst du nur eine (einfache) Nullstelle - das wäre ein Kandidat für eine Fallunterscheidung.<<
Frage: Wozu mache ich die Fallentscheidung überhaupt? Was bringt es mir, wenn ich weiß, wieviele nullstellen k<o, k>0 und k=0 hat? Ändert sich etwa je nachdem wie k beschaffen ist der Monotoniebereich zwischen den Nullstellen der jeweiligen ks? Wenn ja, wie würde ich das in der rechnung deutlich machen?
2. Frage: Kann ich überhaupt bestimmen, ob nun [mm] \frac{-1+\wurzel{1+2k^2}}{k} [/mm] und [mm] \frac{-1-\wurzel{1+2k^2}}{k} [/mm] Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, oder äbndert sich das auch von +k zu -k ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 03.09.2006 | | Autor: | Mato |
Hallo!
> Ändert sich etwa je nachdem wie k beschaffen
> ist der Monotoniebereich zwischen den Nullstellen der
> jeweiligen ks?
Ja, denn der Graph der 1. Ableitung, zeigt an, wie der Graph der Funktion verläuft. Ist der Graph der 1. Ableitung oberhalb der x-Achse, so zeigt das an, dass der Graph der Funktion steigt und unterhalb der x-Achse ist es eben andersrum. Von daher ist k wichtig für das Monotonieverhalten des Graphen, denn auch der Funtionsterm der 1. Ableitung hängt von k ab, und jede Änderung von k, würde eine Änderung des Graphen der Ableitung bedeuten, was wiederum eine Änderung des eigentlichen Graphen bzw. des Monotonieverhaltens bedeutet.
Außerdem gilt ja für das Monotonieverhalten Folgendes:
f'(x)<0 ---> streng monoton fallend
f'(x)>0 ---> streng monoton steigend
>Wenn ja, wie würde ich das in der rechnung
> deutlich machen?
ja, indem du eben das hier "f'(x)<0 ---> streng monoton fallend
f'(x)>0 ---> streng monoton steigend" beachtest. Du setzt für k eine Zahl ein und siehst, was für ein Ergebnis herauskommt, wenn k>0, k<0 oder k=0 ist.
> 2. Frage: Kann ich überhaupt bestimmen, ob nun
> [mm]\frac{-1+\wurzel{1+2k^2}}{k}[/mm] und
> [mm]\frac{-1-\wurzel{1+2k^2}}{k}[/mm] Hochpunkt oder Tiefpunkt ist,
> oder äbndert sich das auch von +k zu -k ?
Ja, kannst du. Anhand der 2. Ableitung z.B., aber das müsstest du auch so wissen, dass Folgendes gilt: f ''(x)<0 --> Hochpunkt oder f ''(x)>0 --> Tiefpunkt. Für x setzt du dann die Nullstellen der 1. Ableitung ein.
Und ja, es wird bestimmt wiederum von k abhängig sein, denn die Nullstellen der 1. Ableitung sind von k abhängig!
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> >>Du erhältst zwei verschiedene Nullstellen, wenn k
> ungleich 0 ist, sonst erhältst du nur eine (einfache)
> Nullstelle - das wäre ein Kandidat für eine
> Fallunterscheidung.<<
>
> Frage: Wozu mache ich die Fallentscheidung überhaupt?
Zum Beispiel, weil die Ausdrücke
> [mm]\frac{-1+\wurzel{1+2k^2}}{k}[/mm] und
> [mm]\frac{-1-\wurzel{1+2k^2}}{k}[/mm]
für k=0 gar nicht definiert sind.
Ist das Grund genug? ;)
SirJective
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