Falsche Induktionsbeweise < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | http://www.mathe-schule.de/Mathe/beweis_mathe.html
(Der vierte Beweis von unten: "Alle natürlichen Zahlen sind gleich") |
Liebe Hobby-Mathematiker,
ich habe gerade angefangen zu studieren und versuche mich nun ein wenig in die Materie der vollständigen Induktion einzudenken. Dazu habe ich mir einen falschen Induktionsbeweis zum Thema "Alle natürlichen Zahlen sind gleich" angesehen und hoffe, dass ich ihn so richtig verstanden habe:
Der Induktionsanfang ist offensichtlich richtig, denn bestimmt man das Maximum von 1 und jeder beliebigen anderen Zahl x [mm] \in \IN [/mm] > 0, so würde etwas größeres als 1 für das Maximum ausgegeben werden. Somit ergibt sich 1 als das Maximum nur für den Fall, dass a=b=1 gilt. (Eigentlich trivial, aber man lernt ja noch :D)
Kommen wir nun also zum Induktionsschritt: Hier liegt meiner Meinung nach der Fehler darin, dass max(a-1,b-1) nur für den Fall n>=1 definiert ist: Betrachten wir max(1,1)=2 (max(a,b)=n+1), dann setzt man a-1=1-1=0 und b-1=1-1=0. Dann gilt max(0,0)=0, doch 0 [mm] \not\in \IN [/mm]
Es wäre toll, wenn man mir einen Hinweis geben könnte, ob ich da den richtigen Gedanken hatte, oder einen Tipp, falls dem nicht so ist. Vielen Dank im Voraus schon mal.
Viele Grüße
Orchis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun, wie ich das sehe ist der Beweis formal richtig, aber es wird nicht das gezeigt was man zeigen möchte.^^
Das Hauptproblem bei dieser Induktion ist, dass max(a,b) betrachtet wird, also du hast zwei Variablen.
Es wird aber eine Induktion über n gemacht, nur eine Variable.
Das heißt also was da gezeigt wurde ist:
Wenn a=b so ist auch max(a,b) = a = b und somit also a=b.
Wollte man hier eine ordentliche Induktion machen müsste man etwas in der Art sagen wie:
"Induktionsvoraussetzung: Es sei die Aussage für ein $a [mm] \in \IN$ [/mm] und für alle $b [mm] \in \IN$ [/mm] mit $b [mm] \leq [/mm] a$ gezeigt.
Induktionsschluss: $a [mm] \mapsto [/mm] a+1$"
Das würde dann natürlich schiefgehen.^^
Das Problem, dass im Induktionsschluss nur $n [mm] \geq [/mm] 2$ betrachtet wird ist allerdings kein wirkliches Problem, denn 1 wurde ja im Induktionsanfang erledigt, somit darf der Schluss ruhig bei der 2 anfangen.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Orchis |
Vielen Dank, jetzt wird mir so einiges klar. Das Problem habe ich von der falschen Seite beleuchtet :D.
Lg Orchis
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