Faltung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne
s*g wobei * für das Faltungsprodukt steht.
[mm] s(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } -1 < x < 1 \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
g(x) = [mm] e^{-9x^2} [/mm] |
Hallo,
das Faltungsprodukt ist ja an sich keine schwere Sache, jedoch hat man hier exterm "blöde" (meine bescheidene Meinung) Funktionen:
Fall: -1 < x < 1
(x * [mm] e^{-9x^2})=\integral_{-1+\epsilon}^{1+\epsilon}{(x-t)e^{-9t^2}dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{-1+\epsilon}^{1+\epsilon}{xe^{-9t^2}dt}-\integral_{-1+\epsilon}^{1+\epsilon}{te^{-9t^2}dt}
[/mm]
aber wie rechnet man sowas?
Fall: x [mm] \le [/mm] -1 (größer gleich analog)
auch hier habe ich eine Frage:
(x * [mm] e^{-9x^2})=\integral_{-\infty}^{-1}{0(x-t)e^{-9t^2}dt}
[/mm]
[mm] \stackrel{?}{=}\integral_{-\infty}^{-1}{0\cdot e^{-9t^2}dt}= [/mm] 0
ab dem "?" über dem "=" bin ich mir unsicher. weil: x könnte zwar kleiner gleich -1 sein. (x-t) könnte aber in -1 < x < 1 liegen
LG,
HP
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hallo HP
ich verstehe nicht recht, weshalb die Integration nur
über das Intervall [mm] [-1-\epsilon\ [/mm] ... [mm] 1+\epsilon] [/mm] gehen soll.
Das Integral
[mm] \integral_{-1+\epsilon}^{1+\epsilon}{te^{-9t^2}dt} [/mm]
ist mittels der Substitution [mm] -9t^2=u [/mm] leicht zu berechnen.
Das andere Integral [mm] \integral_{-1+\epsilon}^{1+\epsilon}{xe^{-9t^2}dt}=x*\integral_{-1+\epsilon}^{1+\epsilon}{e^{-9t^2}dt}
[/mm]
ist ein "Gauss-Integral", das nicht geschlossen integriert werden
kann. Wäre aber das Integrationsintervall ganz [mm] \IR, [/mm] gibt es
Formeln für den Wert des bestimmten (uneigentlichen) Integrals
(siehe Normalverteilung).
Gruß al-Chw.
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> hallo HP
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> ich verstehe nicht recht, weshalb die Integration nur
> über das Intervall [mm][-1-\epsilon\[/mm] ... [mm]1+\epsilon][/mm] gehen
> soll.
naja, weil s(x) ja abschnittsweise definiert ist, und ich dacht, ich müsste dann auch abschnittsweise das faltungsprodukt berechnen.
(wie sonst?)
LG,
HP
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Ich meine, man kann das Faltungsintegral auch so schreiben:
[mm] (s\*g)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}s(t)*g(x-t)*dt
[/mm]
(einverstanden ?)
Weil nun s(t)=0 für alle t mit |t|>1, ist dies dasselbe wie
[mm] (s\*g)(x)=\integral_{-1}^{1}s(t)*g(x-t)*dt
[/mm]
[mm] =\integral_{-1}^{1}t*e^{-9(x-t)^2}*dt
[/mm]
So haben wir nur ein einziges Integral, das aber wohl nur
numerisch zu bewältigen ist. Mein CAS-Rechner müht
sich gerade mit der Darstellung der Funktion s*g im
Intervall [-1.2 ... 1.2] ab. So wie ich schon sehen kann,
bewirkt die Faltung hier eine recht starke "Glättung" der
Funktion s .
Al-Chw.
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Hi,
wie haben heute noch eine tip bekommen.
man soll benutzen: [mm] erf(x):=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\integral_{0}^{x}{e^{-x^2} dx}
[/mm]
Ich setzte also nochmal mit meiner definition des faltungsproduktes an (ich weiß, sie sind äquivalent), aber bei deiner definition kann ich überhaupt nicht weiterrechnen:
s [mm] \* [/mm] g = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{s(x-t)g(t) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{s(x-t)e^{-9t^2} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{(x-t)e^{-9t^2} dt}+\integral_{-1}^{1}{(x-t)e^{-9t^2} dt}+\integral_{1}^{\infty}{(x-t)e^{-9t^2} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{-\infty}^{-1}{xe^{-9t^2} dt}-\integral_{-\infty}^{-1}{te^{-9t^2} dt}+\integral_{-1}^{1}{xe^{-9t^2} dt}-\integral_{-1}^{1}{te^{-9t^2} dt}+\integral_{1}^{\infty}{xe^{-9t^2} dt}-\integral_{1}^{\infty}{te^{-9t^2} dt}
[/mm]
und nun? wie kommt jetzt die errorfunction zum zug? wie bekomme ich eine variable in die obere grenze des integrals?
LG,
HP
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> man soll benutzen:
> [mm]erf(x):=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\integral_{0}^{x}{e^{-x^2} dx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
nach meiner Netzsuche fehlt da ein Faktor 2 im Zähler
> Ich setzte also nochmal mit meiner definition des
> faltungsproduktes an (ich weiß, sie sind äquivalent), aber
> bei deiner definition kann ich überhaupt nicht
> weiterrechnen:
>
> s [mm]\*[/mm] g = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{s(x-t)g(t) dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{s(x-t)e^{-9t^2} dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{(x-t)e^{-9t^2} dt}+\integral_{-1}^{1}{(x-t)e^{-9t^2} dt}+\integral_{1}^{\infty}{(x-t)e^{-9t^2} dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{-\infty}^{-1}{xe^{-9t^2} dt}-\integral_{-\infty}^{-1}{te^{-9t^2} dt}+\integral_{-1}^{1}{xe^{-9t^2} dt}-\integral_{-1}^{1}{te^{-9t^2} dt}+\integral_{1}^{\infty}{xe^{-9t^2} dt}-\integral_{1}^{\infty}{te^{-9t^2} dt}[/mm]
>
Hallo HP,
entschuldige, aber ich habe mit meinem Ansatz weiter
gerechnet (weil ich dabei nur ein einziges Integral brauche)
und will den weiteren Lösungsweg hier darstellen.
Diese Darstellung wird dir wohl auch helfen, deinen Weg zu
vollenden. Falls wir dann zum gleichen Ergebnis kommen,
ist das eine Bestätigung der Richtigkeit.
Wenn die erf-Funktion zugelassen ist, kann man natürlich
zu einem "geschlossenen" Ergebnis kommen.
[mm] \integral_{t=-1}^{1}t*e^{-9(x-t)^2}*dt
[/mm]
Substitution: $\ x-t=u$ $\ t=x-u$ $\ dt=-du$
[mm] \integral_{u=x+1}^{x-1}(x-u)*e^{-9u^2}*(-du)
[/mm]
Vorzeichenwechsel und Vertauschung von Ober- und Unter-
grenze heben sich gegenseitig auf:
[mm] \integral_{u=x-1}^{x+1}(x-u)*e^{-9u^2}*du
[/mm]
Integral aufteilen:
$\ [mm] x*\integral_{u=x-1}^{x+1}e^{-9u^2}*du\quad+\quad\integral_{u=x-1}^{x+1}(-u)*e^{-9u^2}*du$
[/mm]
Substitution 1.Integral: $\ 3u=v$ $\ [mm] u=\bruch{1}{3}v$ [/mm] $\ [mm] du=\bruch{1}{3}dv$
[/mm]
Substitution 2.Integral: $\ [mm] -9u^2=z$ [/mm] $\ -18u*du=dz$ $\ [mm] -u*du=\bruch{1}{18}dz$
[/mm]
$\ [mm] \bruch{x}{3}*\integral_{v=3(x-1)}^{3(x+1)}e^{-v^2}*dv \quad+\quad\bruch{1}{18}*\integral_{z=-9(x-1)^2}^{-9(x+1)^2}e^z*dz$
[/mm]
$\ [mm] \bruch{x}{3}*\bruch{\wurzel{\pi}}{2}*erf(v) \big{|}_{v=3(x-1)}^{3(x+1)}\quad+\quad\bruch{1}{18}*e^z \big{|}_{z=-9(x-1)^2}^{-9(x+1)^2}$
[/mm]
$\ [mm] x*\bruch{\wurzel{\pi}}{6}*\left(erf(3x+3)-erf(3x-3)\right)\ [/mm] +\ [mm] \bruch{1}{18}*(e^{-9(x+1)^2}-e^{-9(x-1)^2})$
[/mm]
Ich habe mich um korrekte Umformungen bemüht,
wäre aber trotzdem froh um unabhängige Kontrolle.
LG al-Chwarizmi
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Hallo,
ich habe deine rechnung sowohl per hand nachgrechnet (hier habe ich noch eine frage) als auch per mathematica. beide rechnungen konnten dein ergebnis bestätigen.
meine frage:
wenn wir von der errorfunction bei wikipedia ausgehen (unser assisten hat sie wirklich so angeschrieben, wie sie im vorherigen beitrag steht), hat man:
[mm] erf(x):=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\integral_{0}^{x}{e^{-t^2} dt}
[/mm]
in der rechnung taucht aber ein integral der form
[mm] \frac{2}{\sqrt{\pi}}\integral_{a}^{b}{e^{-t^2} dt}
[/mm]
auf. bei wikipedia ist dieses integral als verallgemeinerte definition der errorfunction aufgeführt.
lässt sich das integral mit den grenzen a und b auch von der definition der fehlerfunktion mit den grenzen 0 und x herleiten?
Vielen Dank für Deine Hilfe
und LG,
HP
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Hallo HP
> ich habe deine rechnung sowohl per hand nachgrechnet (hier
> habe ich noch eine frage) als auch per mathematica. beide
> rechnungen konnten dein ergebnis bestätigen.
Danke für die Kontrolle !
> meine frage:
>
> wenn wir von der errorfunction bei wikipedia ausgehen
> (unser assisten hat sie wirklich so angeschrieben, wie sie
> im vorherigen beitrag steht), hat man:
>
> [mm]erf(x):=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\integral_{0}^{x}{e^{-t^2} dt}[/mm]
>
> in der rechnung taucht aber ein integral der form
>
> [mm]\frac{2}{\sqrt{\pi}}\integral_{a}^{b}{e^{-t^2} dt}[/mm]
>
> auf. bei wikipedia ist dieses integral als verallgemeinerte
> definition der errorfunction aufgeführt.
>
> lässt sich das integral mit den grenzen a und b auch von
> der definition der fehlerfunktion mit den grenzen 0 und x
> herleiten?
Natürlich: [mm] \integral_{a}^{b}f(t)*dt=F(b)-F(a)=\integral_{0}^{b}f(t)*dt-\integral_{0}^{a}f(t)*dt
[/mm]
Gruß Al
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Danke! 
LG,
HP
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