Faltung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:55 Mo 14.12.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | [mm] \alpha [/mm] >0 [mm] f_{\alpha}(x)=exp(-\alpha x^2) [/mm] auf [mm] \IR. [/mm] Berechnen Sie [mm] f_\alpha \*f_\beta. [/mm] |
Hallo, Leute!!
Sitze schon den halben Tag an der Aufgabe. Nach Definition der Faltung gilt:
[mm] f_\alpha \*f_\beta=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\alpha y^2}e^{-\beta(x-y)^2}dy}. [/mm] Aber ich kann das doch gar nicht integrieren, denn die Ableitung von der Potenz fehlt und einfach so sie dazu multipliezieren darf ich nicht.
Ich bräuchte dringend eure Hilfe.
Vielen-vielen Dank schon im Voraus!!!
Gruß
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Hallo,
> [mm]\alpha[/mm] >0 [mm]f_{\alpha}(x)=exp(-\alpha x^2)[/mm] auf [mm]\IR.[/mm] Berechnen
> Sie [mm]f_\alpha \*f_\beta.[/mm]
> Hallo, Leute!!
> Sitze schon den halben Tag an der Aufgabe. Nach Definition
> der Faltung gilt:
> [mm]f_\alpha \*f_\beta=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\alpha y^2}e^{-\beta(x-y)^2}dy}.[/mm]
> Aber ich kann das doch gar nicht integrieren, denn die
> Ableitung von der Potenz fehlt und einfach so sie dazu
> multipliezieren darf ich nicht.
> Ich bräuchte dringend eure Hilfe.
> Vielen-vielen Dank schon im Voraus!!!
> Gruß
immer der reihe nach. wie sieht dein ansatz aus und welche probleme treten auf? so, wie du hier argumentierst, koennen wir darueber nur spekulieren.
gruss
Matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Di 15.12.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, Matthias!!
Vielen Dank für deine Antwort!!
[mm] f_\alpha \*f_\beta=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\alpha y^2}e^{-\beta(x-y)^2}dy}=\integral _{-\infty}^{\infty}{e^{-\alpha y^2-\beta x^2+2xy\beta-\beta y^2}dy}=e^{-\beta x^2}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\alpha y^2+2yx\beta-\beta y^2}dy}=e^{-\beta x^2}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{- y^2(\beta +\alpha)+2yx\beta}dy}.
[/mm]
Jetzt muss ich eigentlich integrieren, aber ich hab in der Potenz wieder [mm] y^2 [/mm] stehen und die Ableitung davon ist: [mm] -2y(\beta+\alpha)+2x\beta. [/mm] Wenn die y nicht dabei wäre könnte ich die Ableitung einfach dazu multiplizieren und dann die Substitution anwenden, aber es geht nicht, weil ich, wenn ich die Ableitung dazu multipliziere, die Funktion ändere, und das darf ich doch nicht machen. An der Stelle komme ich nicht weiter.
Würde mich sehr freuen, wenn du mir hilfst!
Gruß
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Hallo math101,
> Hallo, Matthias!!
> Vielen Dank für deine Antwort!!
> [mm]f_\alpha \*f_\beta=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\alpha y^2}e^{-\beta(x-y)^2}dy}=\integral _{-\infty}^{\infty}{e^{-\alpha y^2-\beta x^2+2xy\beta-\beta y^2}dy}=e^{-\beta x^2}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\alpha y^2+2yx\beta-\beta y^2}dy}=e^{-\beta x^2}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{- y^2(\beta +\alpha)+2yx\beta}dy}.[/mm]
>
> Jetzt muss ich eigentlich integrieren, aber ich hab in der
> Potenz wieder [mm]y^2[/mm] stehen und die Ableitung davon ist:
> [mm]-2y(\beta+\alpha)+2x\beta.[/mm] Wenn die y nicht dabei wäre
> könnte ich die Ableitung einfach dazu multiplizieren und
> dann die Substitution anwenden, aber es geht nicht, weil
> ich, wenn ich die Ableitung dazu multipliziere, die
> Funktion ändere, und das darf ich doch nicht machen. An
> der Stelle komme ich nicht weiter.
Jetzt musst Du eine Transformation finden,
die den quadratischen Ausdruck
[mm]y^2(\beta +\alpha)-2yx\beta}[/mm]
überführt in
[mm]a*u^{2}+b[/mm]
> Würde mich sehr freuen, wenn du mir hilfst!
> Gruß
Gruss
MathePower
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