Faltung im Zeitbereich < Signaltheorie < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 28.12.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Folgendes LTI-System ist gegeben, dass duch seine Impulsantwort gemäß folgender Graphik charakterisiert wird:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Berechnen Sie die Reaktion y(t) des gegebenen LTI-Systems auf Anregung mit dem Signal [mm] x(t)=rect\left(\bruch{t-1}{2}\right) [/mm] durch Faltung im Zeitbereich. Schreiben Sie für jede Fallunterscheidung das Faltungsintegral mit seinen fallspezifischen Grenzen auf. |
Hi!
Ich weis nicht wie ich bei den Faltungsintegralen die Grenzen vernünfig setze:
Also ich habe erstmal das h(t) so aufgeschrieben:
[mm] h(t)=\begin{cases} -t+2, & \mbox{für } 0 \le t < 2 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Dann ist
[mm] h(t-\tau)=\begin{cases} -t+\tau+2, & \mbox{für } 0 \le t-\tau < 2 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}=\begin{cases} -t+\tau+2, & \mbox{für } t-2 < \tau \le t \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
x(t) sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und h(-t) dementsprechend:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] y(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x(\tau)*h(t-\tau) d\tau}
[/mm]
Jetzt hätte man den ersten Fall bei dem es noch keine Überlappung gibt. Hier muss die obere Grenze von [mm] h(-\tau) [/mm] < 0 sein also:
1.Fall t<0:
y(t)=0
Für den 2ten Fall soll die obere Grenze von [mm] h(-\tau) [/mm] von 0 bis 2 laufen.
also:
2.Fall [mm] 0\le [/mm] t < 2:
[mm] y(t)=\integral_{?}^{?}{x(\tau)*h(t-\tau) d\tau}
[/mm]
So und hier ist der Punkt an dem ich nicht weiterkomme... Ich verstehe einfach nicht wie ich an die Integrationsgrenzen komme. in der oberen muss zumindest die Variable t drin vorkommen, da ich dort die Integration unterbreche?! Kann mir vielleicht einer erkären wie ich an die Grenzen komme? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wahrscheinlich ist es ganz einfach aber ich komme einfach nicht drauf...
Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Folgendes LTI-System ist gegeben, dass duch seine
> Impulsantwort gemäß folgender Graphik charakterisiert
> wird:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Berechnen Sie die Reaktion y(t) des gegebenen LTI-Systems
> auf Anregung mit dem Signal
> [mm]x(t)=rect\left(\bruch{t-1}{2}\right)[/mm] durch Faltung im
> Zeitbereich. Schreiben Sie für jede Fallunterscheidung das
> Faltungsintegral mit seinen fallspezifischen Grenzen auf.
> Hi!
>
> Ich weis nicht wie ich bei den Faltungsintegralen die
> Grenzen vernünfig setze:
>
> Also ich habe erstmal das h(t) so aufgeschrieben:
>
> [mm]h(t)=\begin{cases} -t+2, & \mbox{für } 0 \le t < 2 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]h(t-\tau)=\begin{cases} -t+\tau+2, & \mbox{für } 0 \le t-\tau < 2 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}=\begin{cases} -t+\tau+2, & \mbox{für } t-2 < \tau \le t \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
>
> x(t) sieht so aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> und h(-t) dementsprechend:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> [mm]y(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x(\tau)*h(t-\tau) d\tau}[/mm]
>
> Jetzt hätte man den ersten Fall bei dem es noch keine
> Überlappung gibt. Hier muss die obere Grenze von [mm]h(-\tau)[/mm]
> < 0 sein also:
>
> 1.Fall t<0:
>
> y(t)=0
>
> Für den 2ten Fall soll die obere Grenze von [mm]h(-\tau)[/mm] von 0
> bis 2 laufen.
>
> also:
>
> 2.Fall [mm]0\le[/mm] t < 2:
>
> [mm]y(t)=\integral_{?}^{?}{x(\tau)*h(t-\tau) d\tau}[/mm]
>
> So und hier ist der Punkt an dem ich nicht weiterkomme...
> Ich verstehe einfach nicht wie ich an die
> Integrationsgrenzen komme. in der oberen muss zumindest die
> Variable t drin vorkommen, da ich dort die Integration
> unterbreche?! Kann mir vielleicht einer erkären wie ich an
> die Grenzen komme?
> Wahrscheinlich ist es ganz einfach aber ich komme einfach
> nicht drauf...
also dein [mm] h(t-\tau) [/mm] "fährt" ja nun von links nach rechts in das viereck ein.. (und am koordinatenursprung von [mm] h(t-\tau) [/mm] steht ja das t beim ursprung).
die rechte grenze wird nun durch den "anfang" von [mm] h(t-\tau) [/mm] beschrieben, also t.. somit ist die obere grenze auch t..
die linke grenze wird durch x(t) bestimmt, und die ist ja fix 0..
ich hoffe du verstehst ein wenig von dem, ansonsten versuch ich mal ne skizze zu machen 
>
> Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
> tedd
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 29.12.2009 | | Autor: | tedd |
Danke fü dir Antwort fencheltee 
> also dein [mm]h(t-\tau)[/mm] "fährt" ja nun von links nach rechts
> in das viereck ein.. (und am koordinatenursprung von
> [mm]h(t-\tau)[/mm] steht ja das t beim ursprung).
> die rechte grenze wird nun durch den "anfang" von
> [mm]h(t-\tau)[/mm] beschrieben, also t.. somit ist die obere grenze
> auch t..
> die linke grenze wird durch x(t) bestimmt, und die ist ja
> fix 0..
>
> ich hoffe du verstehst ein wenig von dem, ansonsten versuch
> ich mal ne skizze zu machen
> >
> > Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
> > tedd
>
> gruß tee
Also so ganz habe ich das noch nicht verstanden hehe.
Was klar ist, ist dass ich ja das h(t) gespiegelt habe und dann von links nach rechts über x(t) drüberfahren lasse und dann die "Gemeinsamkeit der Flächen" anschaue.
Ich nehm jetzt erstmal den 2ten Fall so wie du geschrieben hast an und sage:
[mm] y(t)=\integral_{0}^{t}{x(\tau)*h(t-\tau)d\tau}
[/mm]
[mm] x(\tau) [/mm] ist konstant 2 in diesem Bereich und [mm] h(t-\tau)=\begin{cases} -t+\tau+2, & \mbox{für } 0 \le t-\tau < 2 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}=\begin{cases} -t+\tau+2, & \mbox{für } t-2 < \tau \le t \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
also
[mm] y(t)=\integral_{0}^{t}{x(\tau)*h(t-\tau)d\tau}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{t}{2*(-t+\tau+2)d\tau}=-2*t^2+t^2+4*t=-t^2+4*t
[/mm]
In diesem Fall ist h(-t) mit seiner rechten Grenze bis an den Rand von dem Rechteck "gefahren" und mit seiner linken Grenze an den Ursprung. Jetzt muss h(-t) noch aus dem Rechteck rausgeschoben werden...
3.Fall 2 [mm] \le [/mm] t < 4:
Hier weis ich jetzt noch weniger wodurch beim Faltungsintegral die Grenzen bestimmt werden...
Irgendwas hat da in meinem Kopf noch nicht Klick gemacht.
Gruß,
tedd
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> Also so ganz habe ich das noch nicht verstanden hehe.
> Was klar ist, ist dass ich ja das h(t) gespiegelt habe und
> dann von links nach rechts über x(t) drüberfahren lasse
> und dann die "Gemeinsamkeit der Flächen" anschaue.
>
> Ich nehm jetzt erstmal den 2ten Fall so wie du geschrieben
> hast an und sage:
>
> [mm]y(t)=\integral_{0}^{t}{x(\tau)*h(t-\tau)d\tau}[/mm]
>
> [mm]x(\tau)[/mm] ist konstant 2 in diesem Bereich und
> [mm]h(t-\tau)=\begin{cases} -t+\tau+2, & \mbox{für } 0 \le t-\tau < 2 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}=\begin{cases} -t+\tau+2, & \mbox{für } t-2 < \tau \le t \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> also
>
> [mm]y(t)=\integral_{0}^{t}{x(\tau)*h(t-\tau)d\tau}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{t}{2*(-t+\tau+2)d\tau}=-2*t^2+t^2+4*t=-t^2+4*t[/mm]
>
> In diesem Fall ist h(-t) mit seiner rechten Grenze bis an
> den Rand von dem Rechteck "gefahren" und mit seiner linken
> Grenze an den Ursprung. Jetzt muss h(-t) noch aus dem
> Rechteck rausgeschoben werden...
>
>
> 3.Fall 2 [mm]\le[/mm] t < 4:
>
> Hier weis ich jetzt noch weniger wodurch beim
> Faltungsintegral die Grenzen bestimmt werden...
> Irgendwas hat da in meinem Kopf noch nicht Klick gemacht.
nun fährt das dreieck aus dem rechteck wieder raus.. nach rechts wird dies nun durch die rechte kante vom viereck begrenzt (also obere grenze = 2), da dahinter keine überlappung mehr ist..
die linke begrenzung ist ja abhängig vom dreieck (also wie weit es "fährt".. und das "schlusslicht" vom dreieck ist ja mit t-2 gegeben) also untere grenze t-2.
also am einfachsten ist das echt mit ner folie bei komplizierteren beispielen, beschreiben ist da gar nicht so einfach
>
> Gruß,
> tedd
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Di 29.12.2009 | | Autor: | tedd |
ouh man ich glaube jetzt hab ich's endlich verstanden :D
Danke für die Hilfe (großer) fencheltee.
Also 3. Fall 2 [mm] \le [/mm] t < 4:
[mm] y(t)=\integral_{t-2}^{2}{2\cdot(-t+\tau+2)d\tau}=\integral_{t-2}^{2}{(-2*t+2*\tau+4)d\tau}
[/mm]
[mm] =(-2*t*2+4+8)-(-2*t*(t-2)+(t-2)^2+4*(t-2))
[/mm]
[mm] =-4*t+12-(-2*t^2+4*t+t^2-2*t+4+4*t-8)
[/mm]
[mm] =3*t^2-10*t+16 [/mm] wenn ich mich nicht verrechnet habe....
Für den 4ten Fall t [mm] \ge [/mm] 4 ist y(t)=0.
gruß,
tedd
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> ouh man ich glaube jetzt hab ich's endlich verstanden :D
>
> Danke für die Hilfe (großer) fencheltee.
^^
ist aber nicht für ass oder?
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> Also 3. Fall 2 [mm]\le[/mm] t < 4:
>
> [mm]y(t)=\integral_{t-2}^{2}{2\cdot(-t+\tau+2)d\tau}=\integral_{t-2}^{2}{(-2*t+2*\tau+4)d\tau}[/mm]
> [mm]=(-2*t*2+4+8)-(-2*t*(t-2)+(t-2)^2+4*(t-2))[/mm]
> [mm]=-4*t+12-(-2*t^2+4*t+t^2-2*t+4+4*t-8)[/mm]
> [mm]=3*t^2-10*t+16[/mm] wenn ich mich nicht verrechnet habe....
>
> Für den 4ten Fall t [mm]\ge[/mm] 4 ist y(t)=0.
>
> gruß,
> tedd
doch verrechnet, sonst wär dein y(t) nicht stetig
[mm] t^2-8*t+16 [/mm] sollte herauskommen
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Di 29.12.2009 | | Autor: | tedd |
Alles klar!
Danke für die Hilfe
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