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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Fr 27.10.2006 | | Autor: | z-buffer |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Faltung einer Heaviside-Funktion
[mm]
H(x):=\left\{
\begin{matrix}
0 & x < 0 \\
1 & x \ge 0
\end{matrix}
[/mm]
mit einer verkürzten quadratischen Funktion
[mm]
g(x):=\left\{
\begin{matrix}
\bruch{3}{4}(1 -x^2) & -1 \le x \le 1 \\
0 & \mbox{sonst}
\end{matrix}
[/mm]
Skizzieren Sie die beiden Funktionen und ihre Faltung. |
Hallo zusammen,
ich habe die Skizze zur o.g. Aufgabenstellung erstellt und weiß auch grafisch, wie die Faltung der beiden Funktionen verlaufen müsste, komme aber rechnerisch auf kein Ergebnis, das den gedachten Verlauf der Faltungsfunktion auch nur annähernd widerspiegelt.
In die Definition der eindimensionalen Faltung eingesetzt, sieht das dann folgendermaßen aus:
[mm]
(H\*g)(x) = \integral_{-\infty}^{\infty}H(x-y)g(y)\,dy\ \mbox{.}
[/mm]
Mein Problem ist jetzt, den Definitionsbereich des Integrals entsprechend der Definitionsbereiche von H und g sinnvoll einzuschränken, um direkt integrieren zu können. Da beide Funktionen ja eingeschränkte Träger besitzen, wodurch die Faltung in den Nullstellenbereichen ebenfalls zu 0 wird, sollte das ja eigentlich funktionieren. Bei g(y) ist die Sache recht klar, da bleibt der Definitionsbereich zwischen -1 und 1, man könnte das Integral also auf diesen Bereich beschränken, nur bei H(x-y) weiß ich nicht so recht weiter ... H(x-y) sieht ja dann konkret so aus:
[mm]
H(x-y)=\left\{
\begin{matrix}
0 & x < y \\
1 & x \ge y
\end{matrix}
[/mm]
Nur was bringt mir das, wenn y bei der Integration doch jeden Wert aus [mm] \IR [/mm] annimmt? Eigentlich dürfte die Aufgabe nicht schwer sein, ich stehe aber irgendwie auf dem Schlauch.
Vielen Dank für eure Hilfe,
Alex.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 So 29.10.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo z-buffer,
die Lösung dieses Faltungsintegrals kann man in drei Bereiche aufteilen. Ich nehme an, Du bist durch die Umbenennung der Variablen etwas unsicher geworden. Mir ging es auch so, deswegen habe mal alles in t und Tau umgeschrieben. Als Funktion von [mm] t [/mm] und [mm] \tau [/mm] ergibt sich die Faltung durch $$ H(t- [mm] \tau) g(\tau) d\tau \, [/mm] . $$
In der Skizze zur Heavisidefunktion bedeutet dies, dass der Funktionswert nun für negative Tau gleich Eins ist und nun kann man sich folgendes überlegen:
Verschiebt man die Heaviside-Funktion zu weit nach links, so rutscht die Null auch mit nach links und das Produkt zwischen Null und der Funktion g ergibt auch Null. Der erste Bereich geht also von - Unendlich bis -1. und ergibt den Wert Null.
Für den zweiten Bereich gilt: Die untere Grenze des Integrals ist -1. die obere t. Dies gilt bis Tau gleich 1. Man integriert also über die g-Funktion, die bis zum Wert t mit 1 multipliziert wird, was natürlich die Integration sehr vereinfacht.
Der dritte Bereich beginnt bei Tau = 1 und geht bis unendlich, hier ändert sich der Integralwert nicht mehr, er bleibt konstant auf dem Wert des Integrals über g mit den Grenzen von -1 bis 1.
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