Familie Vektorraum lin. abh. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgende Familie [mm] (f_j(X)) [/mm] j [mm] \in [/mm] N [mm] \cup [/mm] {0} im R-Vektorraum R[X] der Polynome:
[mm] (X^j [/mm] + [mm] X^{[j/2]}) \in [/mm] N [mm] \cup [/mm] {0}
Hierbei ist [mm] [j/2]=\begin{cases} j/2, & \mbox{falls } j \mbox{ gerade} \\ (j-1)/2, & \mbox{falls } j \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Welche Aussagen sind wahr?
a) Die Familie ist linear unabhängig?
b) Die Familie ist ein Erzeugendensystem von R[X] ? |
Moin,
zu a)
wenn ich die Aufgabe rihtig verstanden habe, so bilde ich hier zunächst Funktionen der Art
[mm] f_j =X^j [/mm] + [mm] X^{[j/2]}
[/mm]
also z.b. [mm] f_1 [/mm] = [mm] X^1 [/mm] + [mm] X^0 [/mm] = X + 1
[mm] f_2 [/mm] = [mm] X^2 [/mm] + [mm] X^1
[/mm]
[mm] f_3 [/mm] = [mm] X^3 [/mm] + [mm] X^1
[/mm]
usw. Richtig?
Im Prinzip müsste ich untersuchen
[mm] r*f_1 [/mm] + [mm] s*f_2 [/mm] + [mm] t*f_3 [/mm] + ... = 0
zu b)
Eine Menge von Vektoren, die den gesamten Raum R[X] aufspannt heißt Ereugendensystem. Was ist mit R[X] gemeint?
Ich meine, ich kann z.B. keine Wurzeln darstellen. Aber dieses ist, denke ich, auch nicht in R[X] ?! Allerdings, was ist, wenn ich für X=0 einsetze?
na gut, könnte ich auch darstellen...
z.B. [mm] 0^5 [/mm] + [mm] 0^2 [/mm]
Hmm...
Jemand Ideen dazu?
Danke & Gruß
Wolfgang
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> Betrachten Sie die folgende Familie [mm](f_j(X))[/mm] j [mm]\in[/mm] N [mm]\cup[/mm]
> {0} im R-Vektorraum R[X] der Polynome:
>
> [mm](X^j[/mm] + [mm]X^{[j/2]}) \in[/mm] N [mm]\cup[/mm] {0}
>
> Hierbei ist [mm][j/2]=\begin{cases} j/2, & \mbox{falls } j \mbox{ gerade} \\ (j-1)/2, & \mbox{falls } j \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Welche Aussagen sind wahr?
>
> a) Die Familie ist linear unabhängig?
>
> b) Die Familie ist ein Erzeugendensystem von R[X] ?
Hallo,
>fangen wir mal hinten an:
> Was ist mit R[X] gemeint?
Damit ist der Vektorraum der Polynome über [mm] \IR [/mm] gemeint.
Bitte mach Dich zunächst mit diesem VR vertraut, sonst ist es ja sinnlos, die Aufgabe zu bearbeiten.
Welches ist seine Dimension? Kennst Du eine Basis?
> zu a)
> wenn ich die Aufgabe rihtig verstanden habe, so bilde ich
> hier zunächst Funktionen der Art
>
> [mm]f_j =X^j[/mm] + [mm]X^{[j/2]}[/mm]
>
> also z.b. [mm]f_1[/mm] = [mm]X^1[/mm] + [mm]X^0[/mm] = X + 1
>
> [mm]f_2[/mm] = [mm]X^2[/mm] + [mm]X^1[/mm]
>
> [mm]f_3[/mm] = [mm]X^3[/mm] + [mm]X^1[/mm]
>
> usw. Richtig?
Ich lese das genauso wie Du.
Also richtig - allerdings hast Du [mm] f_0 [/mm] vergessen, und die ist nicht unwichtig.
>
> Im Prinzip müsste ich untersuchen
>
> [mm]r*f_1[/mm] + [mm]s*f_2[/mm] + [mm]t*f_3[/mm] + ... = 0
Wir treten auf der Stelle...
Es ist dasselbe wie bei der anderen Aufgabe: wir haben hier eine Familie vorliegen, welche unendlich viele Vektoren enthält, und Du solltest nun wirklich einmal die Definitionen nachschlagen für die lineare Unabhängigkeit einer Familie v. Vektoren, welche nicht zwangslaufig endlich ist.
Das da oben ist falsch. Wir bewegen uns in der linearen Algebra, und hier haben wir keine unendlichen Summen definiert. Oder habt Ihr das getan?
> zu b)
>
> Eine Menge von Vektoren, die den gesamten Raum R[X]
> aufspannt heißt Ereugendensystem.
Richtig. Du mußt also nachschauen, ob Du jedes Element aus [mm] \IR[x] [/mm] als (endliche) Linearkombination von irgendwelchen [mm] f_i [/mm] schreiben kannst.
> Was ist mit R[X] gemeint?
s.o.
>
> Ich meine, ich kann z.B. keine Wurzeln darstellen. Aber
> dieses ist, denke ich, auch nicht in R[X] ?!
Ich verstehe jetzt nicht recht, was Du meinst.
Ohne [mm] f_0 [/mm] hättest Du keine Polynome vom Grad Null darstellen können, also auch nicht [mm] p:=\wurzel{2}X^0. [/mm] Meintest Du das?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:51 Di 08.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
Ich habe gerade gefunden:
(iv) Es sei M eine beliebige unendliche Menge. Dann ist die Dimension
des K-Vektorraums [mm] K^{(M)} [/mm] unendlich. Wir geben eine Basis von [mm] K^{(M)}
[/mm]
an, die aus unendlich vielen Elementen besteht.Wie weiter, betrachten
wir für x [mm] \in [/mm] M die Funktion [mm] e_x \in K^{(M)} [/mm] mit
[mm] e_x(y) [/mm] := [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \mbox{ = y} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Dann ist B := [mm] {e_x | x \in M} [/mm] eine Basis von [mm] K^{(M)}. [/mm] Wir haben
weiter oben schon gezeigt, dass B den Vektorraum [mm] K^{(M)} [/mm] erzeugt.
Es seien e_x1, . . . , e_xn [mm] \in [/mm] B paarweise verschieden und [mm] s_1, [/mm] . . . , [mm] s_n \in [/mm] K
mit
[mm] s_1 [/mm] · e_x1 + · · · + [mm] s_n [/mm] · e_xn = 0 .
Dann gilt insbesondere für i = 1, . . . , n, dass
[mm] s_i [/mm] = [mm] (s_1 [/mm] · e_x1 + · · · + [mm] s_n [/mm] · [mm] e_xn)(x_i) [/mm] = 0 .
Folglich ist B linear unabhängig.
Also würde ich folgern, dass unendlich erzeugte Vektorräume eine unendliche Basis haben, damit linear unabhängig sind...
Gruß
Wolfgang
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> Moin!
>
> Ich habe gerade gefunden:
>
> (iv) Es sei M eine beliebige unendliche Menge. Dann ist die
> Dimension
> des K-Vektorraums [mm]K^{(M)}[/mm] unendlich. Wir geben eine Basis
> von [mm]K^{(M)}[/mm]
> an, die aus unendlich vielen Elementen besteht.Wie weiter,
> betrachten
> wir für x [mm]\in[/mm] M die Funktion [mm]e_x \in K^{(M)}[/mm] mit
>
> [mm]e_x(y)[/mm] := [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \mbox{ = y} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Dann ist B := [mm]{e_x | x \in M}[/mm] eine Basis von [mm]K^{(M)}.[/mm] Wir
> haben
> weiter oben schon gezeigt, dass B den Vektorraum [mm]K^{(M)}[/mm]
> erzeugt.
> Es seien e_x1, . . . , e_xn [mm]\in[/mm] B paarweise verschieden
> und [mm]s_1,[/mm] . . . , [mm]s_n \in[/mm] K
>
> mit
>
> [mm]s_1[/mm] · e_x1 + · · · + [mm]s_n[/mm] · e_xn = 0 .
>
> Dann gilt insbesondere für i = 1, . . . , n, dass
> [mm]s_i[/mm] = [mm](s_1[/mm] · e_x1 + · · · + [mm]s_n[/mm] · [mm]e_xn)(x_i)[/mm] = 0 .
>
> Folglich ist B linear unabhängig.
Hallo,
irgendwie paßt das besser zu dem anderen Thread. Sollte das eigentlich dorthin? Ja, oder?
Denn in dieser Aufgabe beschäftigen wir uns ja mit dem Ring der Polynome...
Wir haben hier eine unendliche Menge von Vektoren (hier also Polynomen), von denen man sagen soll, ob sie linear unabhängig sind und ob sie ein Erzeugendensystem bilden.
Die Fragen an Dich waren:
1. Kann man jedes Polynom als Linearkombination der [mm] f_i [/mm] schreiben?
2. Wie prüfen wir hier lineare Unabhängigkeit? Wie ist lin. Unabhängigkeit allgemein definiert?
> Also würde ich folgern, dass unendlich erzeugte Vektorräume
> eine unendliche Basis haben,
Wenn man weiß, daß ein Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, weiß man, daß er keine endliche Basis hat, das ist richtig. (Denn eine Basis ist ja auch ein Erzeugendensystem.)
> damit linear unabhängig
> sind...
Was meinst Du hiermit?
Du redest davon, daß "unendlich erzeugte Vektorräume ,,,linear unabhängig sind".
Das ist doch Quatsch. In dem erzeugten Vektorraum sind ja gerade die Linearkombinationen der erzeugenden Vektoren, also kann das wohl nicht unabhängig sein,
Gruß v. Angela
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