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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 So 08.12.2013 | | Autor: | karaman |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{r}) [/mm] eine Familie von Untervektorräumen des R-Vektorraums W. Zu zeigen:
[mm] dim(X_{1}+ [/mm] ... [mm] +X_{r})= \summe_{i=1}^{r}dimX_{i} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{r-1}dim((X_{1}+ [/mm] ... [mm] +X_{i})) \cap X_{i+1}) [/mm] |
Hallo zusammen,
ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen sollte.
Ich denke, [mm] dim(X_{1}+ [/mm] ... [mm] +X_{r}) [/mm] = max{dim [mm] X_{i} [/mm] | i von 1 bis r}
Ich habe auch den Satz so umgeformt:
[mm] dim(X_{1}+ [/mm] ... [mm] +X_{r})= \summe_{i=1}^{r-1}(dimX_{i} [/mm] - [mm] dim((X_{1}+ [/mm] ... [mm] +X_{i})) \cap X_{i+1}) [/mm] + dim [mm] X_{r}
[/mm]
Eine spontane (vermutlich falsche) Idee war, eine bijektive Abbildung zu definieren, die als Umordnung der Familie dient, so dass [mm] X_{f1} \le X_{f2} \le [/mm] ... [mm] \le X_{fr} [/mm] ...Dann sollte
[mm] \summe_{i=1}^{r-1}(dimX_{fi} [/mm] - [mm] dim((X_{f1}+ [/mm] ... [mm] +X_{fi})) \cap X_{f(i+1)}) [/mm] = 0 gelten; D.h.
[mm] dimX_{fi} [/mm] = [mm] dim((X_{f1}+ [/mm] ... [mm] +X_{fi})) \cap X_{f(i+1)}
[/mm]
[mm] dimX_{fi} [/mm] = dim( [mm] X_{fi} \cap X_{f(i+1)} [/mm] )
woher ich denke, dass diese Lösung falsch ist.
Ich habe [mm] X_{i} [/mm] auch als affine Teilräume , die transversal schneiden betrachtet , hat mir jedoch wenig geholfen.
Meine konkrete Frage ist, wie ich [mm] dim((X_{1}+ [/mm] ... [mm] +X_{i})) \cap X_{i+1}) [/mm] bearbeite. Außerdem sind alle Hinweise willkommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo karaman,
Betrachte zunächst den Fall $ r=2 $. Entweder ihr hattet diesen in der Vorlesung oder du beweist ihn selber.
In jedem Fall dient sie dir als Induktionsanfang für Induktion nach $ r $. Der Induktionsschluss ist danach rein technischer Natur.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 09.12.2013 | | Autor: | karaman |
Das war deutlich einfacher als ich gedacht habe.
Vielen Dank, UniverselllesObjekt !
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