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| Aufgabe | Satz 8.7: Gegeben seien zwei teilerfremde Zahlen b, b' [mm] \in \IN.
[/mm]
Es gibt eindeutig bestimmte ganze Zahlen a, a' mit
[mm] 0\le [/mm] a < b, 0 < a' [mm] \le [/mm] b', a'b - ab' = 1.
Für diese gilt 0 [mm] \le \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{a'}{b'} \le [/mm] 1. |
Hallo,
also ich habe Probleme den Satz oder vielmehr den Beweis dieses Satzes über Farey-Sequenzen nachzuvollziehen, da dieser für meinen Geschmack nicht ausführlich genug aufgeschrieben ist. ^^'
Zunächst soll aus (a' - [mm] a_{0}')b [/mm] = [mm] (a-a_0)b' [/mm] folgen, dass
[mm] a=a_0 [/mm] + [mm] \lambdab [/mm] und [mm] a'=a_0' [/mm] + [mm] \lambda [/mm] b' [mm] (\lambda \in \IZ)
[/mm]
für Zahlen [mm] a,a',a_0, a_0' \in \IZ [/mm] mit [mm] a_0'b-a_0b' [/mm] =1 und a'b-ab'=1
Das kann ich auch noch soweit nachvollziehen, jetzt aber heißt es, dass für [mm] \lambda [/mm] := [mm] -\lfloor \bruch{a_0}{b} \rfloor [/mm] die Ungleichungen
0 [mm] \le a=a_0 [/mm] - [mm] b\lfloor \bruch{a_0}{b} \rfloor [/mm] < b, [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < 1 bzw.
[mm] \bruch{a'}{b'} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{1}{bb'} \le \bruch{a+1}{b} \le [/mm] 1.
Und genau hier verstehe ich nicht, wieso jetzt sofort diese Ungleichungen gelten.
Wäre um jede Hilfe dankbar. :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 05.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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