Fast-sichere Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Mit unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen [mm] X_1, [/mm] ..., [mm] X_n [/mm] wobei
[mm] X_i [/mm] = [mm] \bruch{9}{4} [/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
sei [mm] Y_n [/mm] := [mm] X_1***X_n [/mm] . Man zeige, dass [mm] E(Y_n) \to \infty [/mm] konvergiert und [mm] Y_n \to [/mm] 0 fast sicher konvergiert für n [mm] \to \infty [/mm] jeweils.
Hinweis: Nutze Markow-Ungleichung für [mm] P(Y_n\ge\bruch{1}{n}) [/mm] mit [mm] p=\bruch{1}{2} [/mm] |
[mm] E(X_i)=\bruch{9}{4}*\bruch{1}{2}+\bruch{1}{9}*\bruch{1}{2}=\bruch{85}{72}
[/mm]
[mm] E(Y_n)=E(X_1***X_n)=E(X_1)***E(X_n)=(\bruch{85}{72})^n [/mm] , womit dann einfach zu zeigen ist, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E(Y_n) [/mm] = 0 .
Wo ich nicht weiterkomme ist hier:
[mm] P(Y_n\ge\bruch{1}{n}) \le_{Markow} \bruch{1}{\wurzel(n)}*E(\wurzel(Y_n)) \le_{Schwartz'sche Ungl.} \bruch{1}{\wurzel(n)} [/mm] * [mm] \wurzel(E(Y_n))=\bruch{1}{\wurzel(n)}*(\bruch{85}{72})^\bruch{n}{2}
[/mm]
Meine Idee war dann zu zeigen, dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel(n)}*(\bruch{85}{72})^\bruch{n}{2} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Mit Borel-Cantelli folgte dann, dass [mm] Y_n [/mm] f.s. nach 0 konvergiert. Leider konvergiert diese Summe aber nicht.
Was meint ihr, könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?
Grüsse
|
|
| |
|
> Mit unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen
> [mm]X_1,[/mm] ..., [mm]X_n[/mm] wobei
>
> [mm]X_i[/mm] = [mm]\bruch{9}{4}[/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und
> = [mm]\bruch{1}{9}[/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> sei [mm]Y_n[/mm] := [mm]X_1***X_n[/mm] . Man zeige, dass [mm]E(Y_n) \to \infty[/mm]
> konvergiert und [mm]Y_n \to[/mm] 0 fast sicher konvergiert für n
> [mm]\to \infty[/mm] jeweils.
>
> Hinweis: Nutze Markow-Ungleichung für
> [mm]P(Y_n\ge\bruch{1}{n})[/mm] mit [mm]p=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]E(X_i)=\bruch{9}{4}*\bruch{1}{2}+\bruch{1}{9}*\bruch{1}{2}=\bruch{85}{72}[/mm]
>
> [mm]E(Y_n)=E(X_1***X_n)=E(X_1)***E(X_n)=(\bruch{85}{72})^n[/mm] ,
> womit dann einfach zu zeigen ist, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} E(Y_n)[/mm] = 0 .
>
> Wo ich nicht weiterkomme ist hier:
> [mm]P(Y_n\ge\bruch{1}{n}) \le_{Markow} \bruch{1}{\wurzel(n)}*E(\wurzel(Y_n)) \le_{Schwartz'sche Ungl.} \bruch{1}{\wurzel(n)}[/mm]
> *
> [mm]\wurzel(E(Y_n))=\bruch{1}{\wurzel(n)}*(\bruch{85}{72})^\bruch{n}{2}[/mm]
>
> Meine Idee war dann zu zeigen, dass
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel(n)}*(\bruch{85}{72})^\bruch{n}{2}[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]
>
> Mit Borel-Cantelli folgte dann, dass [mm]Y_n[/mm] f.s. nach 0
> konvergiert. Leider konvergiert diese Summe aber nicht.
>
> Was meint ihr, könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?
>
> Grüsse
Mit [mm] \sqrt{Y_n}=\sqrt{X_1}*...*\sqrt{X_n} [/mm] kannst du [mm] E(\wurzel(Y_n)) [/mm] direkt bestimmen.
>
|
|
|
| |
|
Hallo
Danke für deine Antwort aber genau das habe ich oben gemacht und eine nicht-konvergente Reihe bekommen.
Kann mir vlt. bitte jmd. helfen?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Danke für deine Antwort aber genau das habe ich oben
> gemacht und eine nicht-konvergente Reihe bekommen.
nein, das hast du nicht gemacht!
Du hast [mm] $\sqrt{E(Y_n)}$ [/mm] versucht zu bestimmen. Hier ist aber die Rede von [mm] $E[\sqrt{Y_n}]$ [/mm] und da erhälst du eine konvergente Reihe.
Was ist denn [mm] $E[\sqrt{Y_n}]$? [/mm] Berechne das doch mal.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo
Danke, ja, das habe ich nun verstanden. Probleme aber habe ich beim Aufstellen einer expliziten Formel:
[mm] \sqrt(Y_2)= [/mm]
[mm] \bruch{9}{4} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{9} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \sqrt(Y_3)= [/mm] ...usw.
[mm] \sqrt(Y_i)=
[/mm]
[mm] \bruch{9}{2}^i [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2^i}
[/mm]
...
[mm] \bruch{1}{3}^i [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2^i}
[/mm]
Nun habe ich das bis [mm] \sqrt(Y_5) [/mm] gemacht und auch Regelmässigkeiten festgestellt. Wie aber berechne ich hier eine explizite Formel?
Grüsse
|
|
|
| |
|
Hiho,
das hat don dir doch bereits beschrieben.
Es gilt:
[mm] $\sqrt{Y_n} [/mm] = [mm] \sqrt{X_1}*\ldots*\sqrt{X_n}$
[/mm]
Sowie:
[mm] $E[\sqrt{Y_n}] [/mm] = [mm] E[\sqrt{X_1}] *\ldots*E[\sqrt{X_n}]$
[/mm]
Was ist nun [mm] $E[\sqrt{X_i}]$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo
Ja ist denn einfach
[mm] \sqrt(X_i)= \bruch{3}{2} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2} \forall [/mm] i
Dann ist [mm] E(\sqrt(X_i))=\bruch{11}{12} \forall [/mm] i
und dementsprechend [mm] E(\sqrt(Y_n)) [/mm] = [mm] (\bruch{11}{12})^n \forall [/mm] n
Ich suchte wohl zu weit... Das ist es schon?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]\sqrt(X_i)= \bruch{3}{2}[/mm] mit W. [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] mit W. [mm]\bruch{1}{2} \forall[/mm] i
>
> Dann ist [mm]E(\sqrt(X_i))=\bruch{11}{12} \forall[/mm] i
>
> und dementsprechend [mm]E(\sqrt(Y_n))[/mm] = [mm](\bruch{11}{12})^n \forall[/mm]
> n
> Ich suchte wohl zu weit... Das ist es schon?
Ja, nun wende noch die Markov-Ungleichung korrekt an und du kommst aufs richtige Ergebnis.
Deine Abschätzung ist nämlich falsch 
Die Markov-Ungleichung lautet anders.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Danke
[mm] P(Y_n\ge\bruch{1}{n}) \le_{Markow} \wurzel{n}\cdot{}E(\wurzel{Y_n}) =\wurzel{n}*(\bruch{11}{12})^n [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{2}*ln(n)}*e^{n*ln(\bruch{11}{12})}
[/mm]
Wie zeigt man nun hier, dass das gegen 0 geht?
|
|
|
| |
|
Hiho,
zeigen könnte man das bspw. mit L'Hospital.
Könnte man aber auch selbst drauf kommen......
MFG,
Gono.
|
|
|
|
