Fast sichere Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei eine Folge von iid ZV mit . a) f.s., wenn .
b) f.s., wenn . |
Zu a) Meine Idee: Wenn ich zeige, dass [mm] P(|\frac{X_n}{n}|>a\,u.o.)=0 [/mm] für alle a, folgt [mm] \frac{X_n}{n}\to [/mm] 0 fast sicher (d.h. ich hätte sogar mehr gezeigt als gefragt ist). Dafür zeige ich [mm] $\sum_{n\geq 1}P(|\frac{X_n}{n}|>a)\leq\int_{0}^{\infty}P(\frac{X_1}{t}>a)dt=E(\frac{X_1}{a})<\infty. [/mm] Stimmt das so?
Bei b) weiß ich nicht wirklich wie ich das zeigen soll.
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Hiho,
> Zu a) Meine Idee: Wenn ich zeige, dass [mm]P(|\frac{X_n}{n}|>a\,u.o.)=0[/mm] für alle a, folgt [mm]\frac{X_n}{n}\to[/mm] 0 fast sicher
wie kommst du darauf? Dann gilt erstmal nur Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Von fast sicherer Konvergenz bist du da noch weit entfernt von.
Welche Sätze kennst du denn, die sich mit dem [mm] \limsup [/mm] beschäftigen?
Gruß,
GOno
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Es gibt einen Satz, der dies besagt. Dies ist eine Anwendung des Lemma von B-C (siehe zB http://de.wikipedia.org/wiki/Borel-Cantelli-Lemma - Anwendungen). Der Teil a) müsste dann eig. so funktionieren, oder? Bei Teil b) habe ich das Problem, dass ich dann ... [mm] \leq \infty [/mm] dastehen habe. Aber kann ich daraus dann schon das Resultat schließen?
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Hiho,
> Es gibt einen Satz, der dies besagt.
na den würde ich gerne mal sehen.....
> Dies ist eine Anwendung des Lemma von B-C (siehe zB http://de.wikipedia.org/wiki/Borel-Cantelli-Lemma - Anwendungen).
Da steht aber nicht, was du gemacht hast.
Da steht eine Summe davor, was eine viel stärkere Eigenschaft ist. Wo ist die Summe bei dir?
Wobei ich gerade sehe, dass du gleich 2 Fehler gemacht hast.
Du schreibst:
> Wenn ich zeige, dass $ [mm] P(|\frac{X_n}{n}|>a\,u.o.)=0 [/mm] $ für alle a
dann zeigst du, dass [mm] $X_n [/mm] = [mm] -\infty$ [/mm] fast sicher gilt für alle n.
Keine sehr interessante Folge.
Was du sicherlich meintest war:
$ [mm] P(|\frac{X_n}{n}|>a\,u.o.) \to [/mm] 0$ für a>0
Aber selbst das stimmt nicht.
Gegenbeispiel:
P die Gleichverteilung auf [0,1]
[mm] $X_n(\omega) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } \omega\in \left[\frac{k}{2^m},\frac{k+1}{2^m}\right] \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$ [/mm] für [mm] $n=2^m [/mm] + k$
Erfüllt: $ [mm] P(|\frac{X_n}{n}|>a\,u.o.) \to [/mm] 0$ für a>0, aber [mm] \frac{X_n}{n} [/mm] konvergiert nicht fast sicher.....
Gruß
Gono
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