Fast sichere Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Sa 02.07.2011 | | Autor: | path |
| Aufgabe | Sei [mm] X_{1,n}=1_{[0,1/n]}n [/mm] eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ([0,1],B([0,1]),P) mit [mm] P=\lambda|_{[0,1]} [/mm] (Lebesgue-Maß eingeschränkt auf [0,1]).
Konvergiert [mm] X_{1,n} [/mm] P-fast sicher? |
Hallo!
Ich bin gerade leicht am Verzweifeln über diese Aufgabe! Ich habe schon gezeigt, dass die Zufallsvariable stochastisch gegen die Nullfunktion konvergiert, aber P-fast-sichere Konvergenz krieg ich einfach nicht hin.
Bin vor allem auch deswegen verwirrt, weil in meinem Skript steht, dass es konvergiert, aber in meinem Buch steht: nein. :)
Vielen Dank schonmal,
path
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Blech |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nimm die Definition und überprüf sie.
$P\left(\lim_{n\to\infty} X_n = X\right) = P\left(\left\{\omega\in\Omega\,\left|\,\lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega)\right.\right\}\right)=1 $
wie sieht
$\left\{\omega\in\Omega\,\left|\,\lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega)\right.\right\}$
aus? Welche $\omega$ sind drin, welche nicht?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 02.07.2011 | | Autor: | path |
Hi!
Ich denke, in $ [mm] \left\{\omega\in\Omega\,\left|\,\lim_{n\to\infty} 1_{[0,1/n]}n(\omega) = 0\right\} $ sind alle \omega drin, für die die Indikatorfunktion für n \to \infty =0 wird.
Der Bereich [0,1/n] kann anscheinend kleiner als jedes \varepsilon > 0 werden, aber woran sieht man, dass die Menge eine Nullmenge ist, für die das nicht gilt?
Danke,
path
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich denke, in $ [mm] \left\{\omega\in\Omega\,\left|\,\lim_{n\to\infty} 1_{[0,1/n]}n(\omega) = 0\right\} $ sind alle $ \omega $ drin, für die die Indikatorfunktion für n $ \to \infty $ =0 wird.
Ja. Und die wären? Ist $\frac 12$ in der Menge? Erfüllt $\frac 12$ die Bedingungen an Elemente der Menge?
( Btw. es muß
$M:= \left\{\omega\in\Omega\,\left|\,\lim_{n\to\infty} n*1_{[0,1/n]}(\omega) = 0\right\} $
sein. n ist keine Funktion von $\omega$ sondern eine Konstante, die wir dann gegen $\infty$ gehen lassen.)
$\frac 12\in\Omega$? Check.
$\lim_{n\to\infty} n*1_{[0,1/n]}\left(\frac 12\right) = 0$? Check, denn $1_{[0,1/n]}\left(\frac 12\right)=0$ für alle $n\geq 2$.
Fazit: $\frac 12\in M$
> Der Bereich [0,1/n] kann anscheinend kleiner als jedes $ \varepsilon $ > 0 werden
Wie soll ein Intervall kleiner als eine reelle Zahl werden? Was genau meinst Du hier? Und was heißt das für M?
> aber woran sieht man, dass die Menge eine Nullmenge ist, für die das nicht gilt?
Du probierst es für jedes $\omega\in [0,1]$. Idealerweise indem Du eine Vorschrift findest, die sich auf fast alle Elemente des Intervalls anwenden läßt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 03.07.2011 | | Autor: | path |
Hi.
> Ja. Und die wären? Ist [mm]\frac 12[/mm] in der Menge? Erfüllt
> [mm]\frac 12[/mm] die Bedingungen an Elemente der Menge?
>
> ( Btw. es muß
> [mm]M:= \left\{\omega\in\Omega\,\left|\,\lim_{n\to\infty} n*1_{[0,1/n]}(\omega) = 0\right\}[/mm]
>
> sein. n ist keine Funktion von [mm]\omega[/mm] sondern eine
> Konstante, die wir dann gegen [mm]\infty[/mm] gehen lassen.)
>
Ja, war n Tippfehler, hab das n an der falschen Stelle eingefügt.
>
> [mm]\frac 12\in\Omega[/mm]? Check.
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} n*1_{[0,1/n]}\left(\frac 12\right) = 0[/mm]?
> Check, denn [mm]1_{[0,1/n]}\left(\frac 12\right)=0[/mm] für alle
> [mm]n\geq 2[/mm].
>
> Fazit: [mm]\frac 12\in M[/mm]
>
>
>
> > Der Bereich [0,1/n] kann anscheinend kleiner als jedes
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 werden
>
> Wie soll ein Intervall kleiner als eine reelle Zahl werden?
> Was genau meinst Du hier? Und was heißt das für M?
>
Ich meine, dass die obere Grenze des Intervalls kleiner als jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 wird, also das Maß der Menge wird immer kleiner, damit geht das Maß von M immer weiter gegen 1.
>
> > aber woran sieht man, dass die Menge eine Nullmenge ist,
> für die das nicht gilt?
>
> Du probierst es für jedes [mm]\omega\in [0,1][/mm]. Idealerweise
> indem Du eine Vorschrift findest, die sich auf fast alle
> Elemente des Intervalls anwenden läßt.
>
Heißt das evtl., dass ich, wenn ich [mm] n=\frac{1}{\varepsilon + 1} [/mm] wähle, das Maß der Menge M näher als [mm] \varepsilon [/mm] an 1 heranbringen kann, für beliebig kleine [mm] \epsilon [/mm] > 0?
Ist dass schon ein Beweis, dass es eine 1-Menge (als Gegenteil einer Nullmenge) ist, und damit ist die fast sichere Konvergenz bewiesen?
Bin mir bei solchen Beweisen nie sicher.
Gruß
path
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 03.07.2011 | | Autor: | Blech |
> Heißt das evtl., dass ich, wenn ich $ [mm] n=\frac{1}{\varepsilon + 1} [/mm] $ wähle,
$ [mm] n=\frac{1}{\varepsilon + 1} [/mm] <1$, damit ist [mm] $\frac [/mm] 1n >1$, ich glaub nicht, daß Du das meinst.
> das Maß der Menge M näher als $ [mm] \varepsilon [/mm] $ an 1 heranbringen kann, für beliebig kleine $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0?
Du bringst nix näher an was auch immer ran. Du hast keine Folge von Mengen, Du hast eine Menge, M. Diese Menge hat feste Elemente und ein festes Maß. Der Grenzwert taucht nur bei der Frage auf, welche [mm] $\omega$ [/mm] in M sind oder nicht.
Ich hab Dir ausführlich geschrieben, wie Du das für ein einzelnes [mm] $\omega$ [/mm] zeigst. Das verallgemeinerst Du jetzt und schaust, wie M genau aussieht.
Weniger Esoterik ("Ommmmm, und eine Menge wird gegen die 1 gehen und das Intervall wird sich mit ihr vereinigen, Ommmm") und mehr präzise Aussagen. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mo 04.07.2011 | | Autor: | path |
Ok, ich kann diesen Check für alle [mm] \omega \in [/mm] (0,1] machen, denn für diese Indikatorfunktion gilt:
[mm] 1_{[0,\frac{1}{n}]}(0)=1.
[/mm]
Somit ist die Menge M=(0,1], und das Lebesgue-Maß beschränkt auf [0,1] davon ist:
[mm] \lambda|_{[0,1]}((0,1])=1.
[/mm]
Also
[mm] P(\{\omega \in \Omega:\underset{n\to \infty}{lim} X_n(\omega)=X(\omega)\})=1.
[/mm]
Folglich konvergiert die Zufallsvariable P-fast-sicher gegen die Nullfunktion.
Richtig?
Leider wirken viele [mm] \varepsilon [/mm] -Beweise aus der Uni tatsächlich ziemlich esoterisch auf mich! :)
Vielen Dank,
path
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
ist alles richtig.
> Ok, ich kann diesen Check für alle $ [mm] \omega \in [/mm] $ (0,1] machen
Das solltest Du in Deiner eigentlichen Lösung dann auch noch machen, ais, analog zu meinem konkreten Beispiel.
> Leider wirken viele $ [mm] \varepsilon [/mm] $ -Beweise aus der Uni tatsächlich ziemlich esoterisch auf mich! :)
Außer Du bist unter Physiker geraten, sollten sie das nicht tun. In der Physik wird der proof by vigorous hand-waving tatsächlich häufiger angewandt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Di 05.07.2011 | | Autor: | path |
Hi!
Danke für deine Hilfe! Eine Sache muss ich jetzt aber nochmal nachfragen:
> > Ok, ich kann diesen Check für alle [mm]\omega \in[/mm] (0,1]
> machen
>
> Das solltest Du in Deiner eigentlichen Lösung dann auch
> noch machen, ais, analog zu meinem konkreten Beispiel.
Ja, ich hab das konkrete Beispiel für 1/2 schon verstanden und mir ist auch klar, dass man das wirklich für alle [mm]\omega \in (0,1][/mm] machen kann, aber wie schreibt man das hin? Was ist also sozusagen diese Regel?
Sorry, diesen Schritt hab ich leider immer noch nicht kapiert!
Gruß
path
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Di 05.07.2011 | | Autor: | Blech |
? Welche Regel?
Du ersetzt $1/2$ durch [mm] $\omega\in [/mm] (0,1]$. Das einzige was Du anpassen mußt ist das [mm] $n\geq [/mm] 2$, da das natürlich vom spezifischen [mm] $\omega$ [/mm] abhängt.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Di 05.07.2011 | | Autor: | path |
> Du probierst es für jedes [mm]\omega\in [0,1][/mm]. Idealerweise
> indem Du eine Vorschrift findest, die sich auf fast alle
> Elemente des Intervalls anwenden läßt.
>
path
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