Feder-Dämpfer DGL < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Fr 29.08.2014 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie die Schwingungs-DGL
2. Bestimmen Sie für die gedämpfte und ungedämpfte Schwingung die Eigenfrequenz
3. Um wie viel % ist die Amplitude der Schwingung kleiner als die der vorhergegangenen? |
[Dateianhang nicht öffentlich]
gegeben: J = [mm] 2kgm^2 [/mm] ; c=140 N/cm ; k=600 Ns/m ; a=20 cm ; b=30 cm
Ich stehe hier vor einen relativ großen Problem, weil ich leider keinen wirklichen Ansatz habe.
Wenn ich mir die Grundgleichung
[mm] m* \dot \dot x - k *\dot x + c * x = 0 [/mm]
ansehe und mir anschaue, dass meine [mm] x = \varphi * l [/mm] ist, wobei l die Abstände a und b sind und ich mein m=J ist, lautet die Gleichung dann ja:
[mm] J * \dot \dot \varphi - k * a^2 * \dot \varphi + c * b^2 * \varphi = 0 [/mm]
oder liege ich da falsch? Setze ich hier nun aber erstmal nur die Einheiten ein, so bekomme ich nicht eine einheitliche Einheit für die Summanden.
Für einen Ansatz nach LAGRANGE fehlt mir leider im Script die Dämpfung in der Gleichung.
Könnte mir vielleicht jemand helfen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 29.08.2014 | | Autor: | chrisno |
> [mm]J * \ddot \varphi - k * a^2 * \dot \varphi + c * b^2 * \varphi = 0[/mm]
>
Einheiten:
[mm]J * \ddot \varphi[/mm]: Nm
$k * [mm] a^2 [/mm] * [mm] \dot \varphi$: [/mm] Nm
$c * [mm] b^2 [/mm] * [mm] \varphi$: [/mm] Nm
Wo passt es bei Dir nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Fr 29.08.2014 | | Autor: | Morph007 |
Ich war irgendwie die ganze Zeit auf dem Holzpfad, dass [mm] \varphi [/mm] auch in irgendeiner Weise eine Strecke ist.
Betrachte ich mal [mm] \dot \varphi [/mm] heißt es ja eigentlich nichts anderes als - in Worten - die Änderung des Winkels je Zeit oder [mm] \bruch{\delta \varphi}{\delta t} [/mm] , was ja [mm]s^{-1}[/mm] und analog für [mm] \ddot \varphi[/mm] [mm]s^{-2}[/mm] ist.
Liege ich da richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Sa 30.08.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, richtig
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Morph007 |
Ist denn meine Überlegung so weit richtig sonst?
Der Dämpfer und die Feder wirken ja einander entgegen, also müsste doch das "-" richtig sein, oder?
Im nächsten Schritt müsste ich doch dann nur noch die Gleichung durch J teilen und hätte dann meine Schwingungsgleichung oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Sa 30.08.2014 | | Autor: | chrisno |
> Ist denn meine Überlegung so weit richtig sonst?
>
> Der Dämpfer und die Feder wirken ja einander entgegen,
> also müsste doch das "-" richtig sein, oder?
Diese Betrachtung stimmt nicht.
Beginne am besten bei F = m a nun geschrieben als m a = F.
Anstelle von Masse und Beschleunigung stehen nun Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung.
Die rücktreibende Kraft ist der Auslenkung entgegengesetzt, der Teil von F schreibt sich also als -Dx oder eben in diesem Fall als [mm] $-cb^2\phi$. [/mm] Der andere Teil von F ist die Dämpfung. Als Bremskraft wirkt sie entgegen der aktuellen Richtung der Geschwindigkeit, also [mm] $-k\dot{x}$, [/mm] wenn k selbst positiv gewählt wurde, also [mm] $-ka^2\dot{\phi}$. [/mm] Nun wird beides auf die linke Seite der Gleichung gebracht und beide Minuszeichen verschwinden dabei.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Morph007 |
Vielen Dank für die Erklärung! Hast mir mal wieder wirklich sehr geholfen.
Kannst Du noch was zu Teilaufgabe 2 und 3 sagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Sa 30.08.2014 | | Autor: | chrisno |
Dafür musst Du erst die Differentialgleichung mit dem üblichen Ansatz lösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Morph007 |
Reicht es nicht, die Gleichung durch J zu teilen?
Dann habe ich doch schon [mm] \bruch{c * b^2}{J} = \omega_0^2 [/mm]
Und damit [mm] \wurzel{\omega_0^2} = \omega_0 [/mm] die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung oder sehe ich da was falsch?
Allerdings weiß ich dann nicht wie ich die Eigenfrequenz der geämpften Schwingung bestimmen sollte.
Idee:
Die Gleichung sieht nach dem teilen durch J ja so aus:
[mm] \ddot \varphi + \bruch{k*a^2}{J} * \dot \varphi + \bruch{c*b^2}{J} * \varphi = 0 [/mm]
wie oben schon festgestellt ist dabei ja das [mm] \bruch{c*b^2}{J} [/mm] mein [mm] \omega_0^2 [/mm] und das [mm] \bruch{k*a^2}{J} [/mm] zwei mal die Abklingkonstante.
Wäre nicht die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung [mm] \omega_d = \wurzel{\omega_0^2 - Abklingskonstante^2} [/mm] ?
Glaube ich habe nun die Lösung
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Morph007,
> Reicht es nicht, die Gleichung durch J zu teilen?
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> Dann habe ich doch schon [mm]\bruch{c * b^2}{J} = \omega_0^2[/mm]
>
> Und damit [mm]\wurzel{\omega_0^2} = \omega_0[/mm] die Eigenfrequenz
> der ungedämpften Schwingung oder sehe ich da was falsch?
> Allerdings weiß ich dann nicht wie ich die Eigenfrequenz
> der geämpften Schwingung bestimmen sollte.
>
> Idee:
>
> Die Gleichung sieht nach dem teilen durch J ja so aus:
> [mm]\ddot \varphi + \bruch{k*a^2}{J} * \dot \varphi + \bruch{c*b^2}{J} * \varphi = 0[/mm]
>
> wie oben schon festgestellt ist dabei ja das
> [mm]\bruch{c*b^2}{J}[/mm] mein [mm]\omega_0^2[/mm] und das [mm]\bruch{k*a^2}{J}[/mm]
> zwei mal die Abklingkonstante.
>
> Wäre nicht die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung
> [mm]\omega_d = \wurzel{\omega_0^2 - Abklingskonstante^2}[/mm] ?
>
> Glaube ich habe nun die Lösung
Wie mir scheint hast Du hier mit gerundeten Werten für [mm]\omega_{0}[/mm] gerechnet.
Bei Fortführung dieser Rechnung mit gerundeten Werten schleichen
sich Rechenfehler ein. Deshalb ist es ratsam mit exakten Werten bis
zum Erhalt des Endergebnisses zu rechnen.
Erst dies kann dann gerundet werden.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Morph007 |
Jein, [mm] \omega_0 [/mm] , also die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung, war exakt 25. Bei der Berechnung der Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung habe ich jedoch den Abklingkoeffizienten und das Endergebnis gerundet, das stimmt. Dadurch werden wahrscheinlich minimale Abweichungen zu Stande kommen aber für mich war erst einmal wichtig, ob mein Rechenweg so korrekt war.
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