Fehler 2. Art < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Di 15.01.2008 | | Autor: | Waldifee |
| Aufgabe | Das Gewicht von Orangen der Güteklasse A sei normalverteilt mit einer Varianz von 100. Sie sind Einzelhändler und bekommen eine neue Lieferung. Grundsätzlich nehmen Sie diese nur an, wenn die Orangen mindestens ein durchschnittliches Gewicht von 150g haben. Sie testen bei jeder Lieferung zum Signifikanzniveau von 10%, ob die Orangen Ihren Anforderung genügen.
Sie wissen, dass es nur zwei Typen von Orangenlieferungen gibt. Entweder ist das Gewicht in Ordnung (>150) oder das mittlere Gewicht liegt bei 145. Wie viele Orangen müssten mindestens gewogen werden, um die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art auf maximal 15% zu begrenzen? |
Ich würde als Hypothesen formulieren:
H0:theta > 150 und
H1:theta < 150
Doch zum weitern Vorgehen bin ich hilflos...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Das Gewicht von Orangen der Güteklasse A sei normalverteilt
> mit einer Varianz von 100. Sie sind Einzelhändler und
> bekommen eine neue Lieferung. Grundsätzlich nehmen Sie
> diese nur an, wenn die Orangen mindestens ein
> durchschnittliches Gewicht von 150g haben. Sie testen bei
> jeder Lieferung zum Signifikanzniveau von 10%, ob die
> Orangen Ihren Anforderung genügen.
> Sie wissen, dass es nur zwei Typen von Orangenlieferungen
> gibt. Entweder ist das Gewicht in Ordnung (>150) oder das
> mittlere Gewicht liegt bei 145. Wie viele Orangen müssten
> mindestens gewogen werden, um die Wahrscheinlichkeit, einen
> Fehler 2. Art auf maximal 15% zu begrenzen?
> Ich würde als Hypothesen formulieren:
>
[mm] $H_0$: [/mm] Die Lieferung hat ein mittleres Gewicht von 145g
[mm] $H_1$: [/mm] Sie hat >145g. (= Sie hat >150g, da ja dazwischen nichts liegen kann)
Wenn Du jetzt die Nullhypothese zum Niveau 10% ablehnen kannst, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit nur 10%, bei einer Lieferung mit einem durchschnittlichen Gewicht von 145g eine Stichprobe zu ziehen, die im Ablehnungsbereich liegt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] $\mu_0$ [/mm] soll bei 145g sein, [mm] $\mu_1$ [/mm] kann irgendwo über 150g liegen, aber da wir den Fehler 2. Art im ungünstigsten Fall wollen, nehmen wir an [mm] $\mu_1 [/mm] = 150g$.
Nehmen wir an, das wahre [mm] $\mu$ [/mm] ist 145g. Das Gewicht ist normalverteilt, also wird unsere Stichprobe auch normalverteilt sein, d.h. wir betrachten die Dichte für [mm] $\mu_0$, [/mm] die ich eingezeichnet habe. Wir testen zum Niveau 10%, d.h. die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese irrtümlich abzulehnen, soll 10% sein.
Wir wählen also unsere Trennlinie so, daß die Wahrscheinlichkeit, daß die Stichprobe rechts von ihr liegt, obwohl [mm] $\mu=145g$ [/mm] ist, gleich 10% ist. Diese 10% sind die blaue Fläche (k.a. ob das wirklich 10% sind, ich hab einfach eine Linie eingezeichnet).
Jetzt besteht aber auch die Möglichkeit, daß das wahre [mm] $\mu$ [/mm] gleich 150g ist. Wir kennen es ja nicht, wir haben nur unsere Stichprobe. Wäre das wahre [mm] $\mu=150g$, [/mm] so wäre die Stichprobe normalverteilt mit der Dichte, die ich zu [mm] $\mu_1$ [/mm] eingezeichnet habe. Jetzt haben wir oben die Trennlinie für unsere Nullhypothese bestimmt, aber damit besteht die Gefahr, daß die Stichprobe im Bereich liegt, wo wir die Nullhypothese nicht verwerfen, obwohl das wahre [mm] $\mu$ [/mm] gleich 150g. Diese Wahrscheinlichkeit ist die rote Fläche, der Fehler 2. Art.
Der Ausweg aus diesem Dilemma ist eine größere Stichprobe. Wenn die Stichprobe größer wird, wird die Varianz kleiner und damit die Dichte schmaler.
Das ist das rechte Bild. Wir haben die gleichen [mm] $\mu, \mu_0, \mu_1$, [/mm] aber die Dichten sind jetzt von einer Normalverteilung mit kleinerer Varianz. Der blaue Bereich soll weiterhin eine Wahrscheinlichkeit von 10% repräsentieren. Nachdem die Dichte schmaler ist, wandert unsere Trennlinie also nach links. Gleichzeitig wird auch die Dichte für [mm] $\mu=150g$ [/mm] schmaler und damit wird der rote Bereich, also die Wkeit für einen Fehler 2. Art winzig.
Deine Aufgabe ist es nun, [mm] $\sigma^2$ [/mm] so zu bestimmen, daß die rote Fläche 0,15 ist. Nachdem [mm] $\mu$ [/mm] entweder 145g oder >150g ist damit dann der die Wkeit für einen Fehler 2. Art auf jeden Fall kleiner 15%. Die Varianz wird kleiner, wenn die Stichprobengröße größer wird, und Du sollst jetzt rausfinden, für welche Stichprobengröße die rote Fläche gerade kleiner 0.15 wird.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Waldifee |
Also ich habe die Lösung um ehrlich zu sein, noch nicht so ganz verstanden. Müsste die Hypothesen denn nich anders rum formuliert werden?
Außerdem ist mir doch die Varianz bekannt.
Ich habe gedacht ich berechne zuerst den beta-Fehler, davon ausgehend den alpha-Fehler - mit dessen Hilfe ich den Mittelwert rausbekomme- und n erhalte ich mit der Teststatistik.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Mi 16.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
nein, in deinem ersten Posting hast du die Hypothesen falsch aufgestellt.
Du musst, wie Blech es sehr richtig getan hat, die Hypothese
[mm] H$_0:\theta=\mu_0=145$ [/mm] gegen [mm] H$_1:\theta\ge\mu_1=150$ [/mm] testen.
(Blech benutzt fuer dein [mm] $\theta$ [/mm] den Buchstaben [mm] $\mu$).
[/mm]
Beim Verwerfen von [mm] H${}_0$ [/mm] bist du naemlich davon ueberzeugt, dass die Lieferung
in Ordnung ist, denn du irrst dich ja nur mit einer Wsk von [mm] $\alpha=0.1$.
[/mm]
Das ist das Signifikanzniveau, eine Wsk, die kontrollieren kannst, indem
du sie dir vorgibst.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mi 16.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
wir betrachten die Verteilung des arithmetischen Mittels [mm] $\bar [/mm] X$. Da die
Gewichte normalverteilt sind, gilt das auch fuer [mm] $\bar [/mm] X$ mit
[mm] $\operatorname{E}[\bar X]=\mu$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[\bar X]=\sigma^2/n=100/n$.
[/mm]
(Ich bleibe mal bei der eher traditionellen Notation, siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.)
So gesehen hat [mm] $\bar [/mm] X$ zwei Verteilungen: Eine unter der Nullhypothese
[mm] $\mu=145$ [/mm] und eine unter der Alternativhypothese [mm] $\mu\ge150$. [/mm] Bei einer
Lieferung werden $n$ Stueck ausgewaehlt und gewogen. Ist deren
Durchschnittsgewicht [mm] $\bar [/mm] X$ groesser als ein kritischer Wert [mm] $\bar x_{1-\alpha}$,
[/mm]
so akzeptierst du die Lieferung, anderenfalls nicht.
Der Fehler 1. Art wird begangen, wenn du die Nullhpothese verwirfst,
obwohl die Lieferung nicht einwandfrei ist, d.h., wenn [mm] $(\bar X\ge \bar x_{1-\alpha})$
[/mm]
eintritt, obwohl [mm] $\mu=145$ [/mm] gilt. Die Wahrscheinlichkeit ist mit
[mm] $\alpha=0.1$ [/mm] vorgegeben, was bedeutet, dass [mm] $\bar x_{1-\alpha}=\bar x_{0.9}$ [/mm] der 90%-Punkt
der Verteilung von [mm] $\bar [/mm] X$ unter der Nullhypothese ist.
Den Fehler 2. Art begehst du, wenn [mm] $(\bar X<\bar x_{0.9})$
[/mm]
eintritt, obwohl in Wirklichkeit [mm] $\mu\ge [/mm] 150$ vorliegt.
Fasst du diese Ausfuehrungen formal, so wirst du eine
Bestimmungsgleichung fuer n finden...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Waldifee |
Ich würde jetzt formulieren:
[mm] \emptyset ((x-145)/\wurzel{100/N}) [/mm] = Q(.9) = 1,28
[mm] \emptyset ((x-150)/\wurzel{100/N}) [/mm] = Q(.85) = 1,03
Dann würde ich es gleichsetzen...
Habe es mal in meinen Taschenrechner eingesetzt, der sagt:
n=.25 und x=170,6
Komische Werte, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Waldifee |
Oben habe ich mich vertan --> ist es richtig
Ich würde jetzt formulieren:
$ [mm] \emptyset ((x-145)/\wurzel{100/N}) [/mm] $ = Q(.9) = 1,28
$ [mm] \emptyset ((x-150)/\wurzel{100/N}) [/mm] $ = Q(.15) = -1,03
Dann würde ich es gleichsetzen...
Habe es mal in meinen Taschenrechner eingesetzt, der sagt:
n=4,62 --> n=21,3
und x=147,7
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mi 16.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Habe es mal in meinen Taschenrechner eingesetzt, der
> sagt:
> n=4,62 --> n=21,3
> und x=147,7
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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![[]](http://images.google.de/imgres?imgurl=http://www.fh-friedberg.de/users/mlutz/JavaKurs/applets/GaussFit/ZehnMarkSchein.JPG&imgrefurl=http://www.fh-friedberg.de/users/mlutz/JavaKurs/applets/GaussFit/Normalverteilung.html&h=131&w=267&sz=9&hl=de&start=2&tbnid=Q9tA5q7ArboBRM:&tbnh=55&tbnw=113&prev=/images%3Fq%3Dgauss%2Bzehn%2Bmark%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26svnum%3D10%26hl%3Dde%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:de:official%26sa%3DN){kind=small}
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