Fehler 2. Art berechnen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:39 Do 09.02.2012 | | Autor: | sh4nks |
| Aufgabe | Ab T > 53,2 wird H Null (Varianz höchstens 40) bei einem Chi- Quadrat- Test für Varianz verworfen.
Stichprobenlänge n= 35, Erwartungswert 500, Varianz 55.
Wie berechnet man (mit Normalapproximation) den Fehler 2. Art? |
Ich bin komm nicht drauf, wie man das Problem formal beschreiben muss. Die Bedingung ist ja, dass die Testgröße kleiner gleich der Ablehnungsschranke 53,2 ist. Aber wie beschreibe ich das Problem genau bzw. löse ich die Aufgabe?
Gruß, Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Do 09.02.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Markus,
ein Fehler 2. Art findet ja statt, wenn [mm] H_0 [/mm] angenommen wird, d.h. die Teststatistik im Annahmebereich landet, obwohl [mm] H_0 [/mm] nicht zutrifft. Hier ist, wie du schon festgestellt hast, [mm] P(T\le [/mm] 53,2) gesucht, aber unter der Bedingung, dass [mm] H_1: \sigma^2=55 [/mm] zutrifft. Um die W'keit zu bestimmen, muß man wissen, wie T unter [mm] H_1 [/mm] jetzt verteilt ist (um dann zB in einer entsprechenden Tabelle nachzukucken). Hier sollst du die W'keit dann mit der Standardnormalverteilung approximieren.
Allerdings ist mir leider grad selbst nicht ganz klar, warum hier der Erwartungswert mit 500 angegeben ist. Ich dachte bei einem [mm] \chi^2- [/mm] Test ist die Teststatistik (unter [mm] H_0) [/mm] auch [mm] \chi^2 [/mm] verteilt. Dann müsste aber doch der Erwartungswert bei E(T)=n liegen (unter [mm] H_0), [/mm] der Anzahl der Freiheitsgrade, oder? Soll man das unter [mm] H_1 [/mm] nun mit 500 ansetzen, ich bin ebenfalls verwirrt, deswegen bleibt die Frage mal unbeantortet.
EDIT: Kann es sein, dass du hier nur einen Teil der Aufgabe gepostet hast und den Erwartungswert 500 für einen anderen Aufgabenteil brauchst oder halt generell noch mehr zur Aufgabe sagen kannst?
Lg walde
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:32 Fr 10.02.2012 | | Autor: | sh4nks |
Hi,
danke erstmal. Soweit war mir das grob schon klar, aber ich weiß nicht, wie ich den Ausdruck T<53,2 so umforme, dass ich in einer Tabelle für Standardnormalverteilungen nachschlagen kann. T=s²/sigma², sigma² rüberbringen und dann irgendwie auf N(0,1) normieren? Oder ganz anders?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Markus,
sei nicht so sparsam mit den Info's über die Aufgabe. Mir zumindest würde das glaube ich helfen.
Aber hier mal meine Ideen, kein Anspruch auf Richtigkeit. Da hier ein Erwartungswert angegeben ist, das soll wohl der Erwartungswert der (normalverteilten) Daten sein, gehe ich davon aus, dass er nicht aus der Stichprobe geschätzt wurde. Dann sieht die Teststatistik so aus [mm] T=\bruch{nS^2}{\sigma^2}, [/mm] mit [mm] S^2=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2 [/mm] und die [mm] X_i [/mm] sind die Daten. Und hier dann konkret, unter [mm] H_0: T=\bruch{35*S^2}{40}\sim\chi^2(35). [/mm] Jetzt geht man aber von [mm] H_1:\sigma^2=55 [/mm] aus. Dann ist [mm] T=\bruch{35*S^2}{40}\not\sim\chi^2(35). [/mm] Aber [mm] T'=\bruch{35*S^2}{55} [/mm] wäre es.
Also [mm] T=\bruch{35*S^2}{40}=\bruch{55}{40}*\bruch{35*S^2}{55}=\bruch{55}{40}*T'.
[/mm]
Wenn nun gesucht ist [mm] P_{H_1}(T\le 53,2)=P_{H_1}(\bruch{55}{40}T'\le 53,2)=P_{H_1}(T'\le\bruch{40}{55}*53,2) [/mm] hat man wieder eine [mm] \chi^2 [/mm] Verteilung mit 35 FGn.
In der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia hab ich nachgelesen, dass für [mm] n\ge [/mm] 30 und wenn [mm] X\sim\chi^2(n), [/mm] dann ist (nährungsweise) [mm] Y=\wurzel{2*X}-\wurzel{2n-1}\sim\mathcal{N}(0,1). [/mm] Dann wäre also mein Vorschlag, du transformierst T' auf die Gestalt von Y und kuckst mal nach, ob was Gescheites rauskommt.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 14.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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