Fehlerabschätzung < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 27.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Zeige folgende Fehlerabschätzungen für den Mittelpunktregel:
[mm] |\integral_{x_0}^{x_0+h}f(x)dx-hf(x_0+h/2)|\le \bruch{h^3}{24}\underbrace{max}_{x\in[x_0,x_0+h]}|f''(x)| [/mm] |
hallo ,
ich weiß nicht so richtig wie ich anfangen soll um es zu zeige. kann mir jemand einen starthilfe geben? ich bin für jede hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Di 28.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
Wende den Satz von Taylor an:
Es existiert ein [mm] $\eta$ [/mm] zwischen x und [mm] $x_0+h/2$, [/mm] sodass [mm] $f(x)=f(x_0+h/2)+f'(x_0+h/2)(x-x_0-h/2)+f''(\eta)\frac{(x-x_0-h/2)^2}{2}$
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Di 28.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
danke für deine hilfe. ich habe auch schon überlegt mit dem taylorreihe zu machen. kann ich die taylorreihe in das integal für f(x) einsetzen? aber da komme ich irgendwie nicht zum ergebnis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Di 28.10.2014 | | Autor: | andyv |
Ja, das kannst du machen.
Das Integral über den 2 Summanden fällt dann weg, sodass man letztlich nur noch das Integral über den 3 Summanden abschätzen muss.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 29.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
dankeschön für deine antwort:)
also ich habe folg. gemacht:
[mm] \integral_{x_0}^{x_0+h}f(x)dx-hf(x_0+h/2) [/mm]
setze für [mm] f(x)=f(x_0+h/2)+f'(x_0+h/2)(x-x_0-h/2)+f''(\tau)(x-x-h/2)^2*\bruch{1}{2} [/mm] für [mm] \tau \in [x_0,x_0+h]
[/mm]
dann erhalte
[mm] \integral_{x_0}^{x_0+h}f(x_0+h/2)+f'(x_0+h/2)(x-x_0-h/2)+f''(\tau)(x-x-h/2)^2*\bruch{1}{2}- hf(x_0+h/2)
[/mm]
[mm] =[f(x_0+h/2)\cdot [/mm] x+ [mm] f(x_0+h/2)(x-x_0-h/2)^2\bruch{1}{2}+f'(\tau)(x-x_0-h/2)^3\bruch{1}{3}]_x_0^{x_0+h}-h\cdot f(x_0+h/2)
[/mm]
wenn man die grenzen einsestzt und zusammensetzt erhält man folgendes
[mm] =f'(\tau)\bruch{h^3}{24}
[/mm]
es kommt leider f' anstatt f''. ist es trotzdem soweit richtig? kann ich es dann so abschätzen:
[mm] \bruch{h^3}{24}|f'(\tau)|\le \bruch{h^3}{24}max|f''(\tau)|?
[/mm]
und noch eine frage:
wieso betrachtet man die teyylorpolynom für f(x)?
danke für dein hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mi 29.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> dankeschön für deine antwort:)
> also ich habe folg. gemacht:
> [mm]\integral_{x_0}^{x_0+h}f(x)dx-hf(x_0+h/2)[/mm]
> setze für
> [mm]f(x)=f(x_0+h/2)+f'(x_0+h/2)(x-x_0-h/2)+f''(\tau)(x-x-h/2)^2*\bruch{1}{2}[/mm]
> für [mm]\tau \in [x_0,x_0+h][/mm]
> dann erhalte
>
> [mm]\integral_{x_0}^{x_0+h}f(x_0+h/2)+f'(x_0+h/2)(x-x_0-h/2)+f''(\tau)(x-x-h/2)^2*\bruch{1}{2}- hf(x_0+h/2)=[f(x_0+h/2)\cdot[/mm] x+
> [mm]f(x_0+h/2)(x-x_0-h/2)^2\bruch{1}{2}+f'(\tau)(x-x_0-h/2)^3\bruch{1}{3}]_x_0^{x_0+h}-h\cdot f(x_0+h/2)[/mm]
>
Ich korrigiere mal:
$ [mm] \red{\left|}\integral_{x_0}^{x_0+h}f(x_0+h/2)+f'(x_0+h/2)(x-x_0-h/2)+f''(\tau)(x-x\red{_0}-h/2)^2*\bruch{1}{2}- hf(x_0+h/2)\red{\right|}\red{\leq}[f(x_0+h/2)\cdot x+f\red{'}(x_0+h/2)(x-x_0-h/2)^2\bruch{1}{2}+\|f\red{''}\|_{\red{\infty}}(x-x_0-h/2)^3\bruch{1}{\red{6}}]_x_0^{x_0+h}-h\cdot f(x_0+h/2)$
[/mm]
Beachte: [mm] $f'(x_0+h/2)$ [/mm] hängt nicht von x ab, also kannst du das vors Integral ziehen, [mm] $f(\tau)$ [/mm] dagegen nicht, das entsprechende Integral kann man wie oben abschätzen.
> wenn man die grenzen einsestzt und zusammensetzt erhält
> man folgendes
> [mm]=f'(\tau)\bruch{h^3}{24}[/mm]
>
> es kommt leider f' anstatt f''. ist es trotzdem soweit
> richtig? kann ich es dann so abschätzen:
> [mm]\bruch{h^3}{24}|f'(\tau)|\le \bruch{h^3}{24}max|f''(\tau)|?[/mm]
>
> und noch eine frage:
> wieso betrachtet man die teyylorpolynom für f(x)?
Weil es offenbar zum Ziel führt. Sieht man recht schnell, wie ich finde, wenn man sich anschaut durch was abgeschätzt werden soll.
>
> danke für dein hilfe
Liebe Grüße
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