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| Aufgabe | In einer Messung wurden dei Größen a, b und c zu a =2, b=4 und c=3 bestimmt; dabei liegt der maximal mögliche (absolute) Fehler von a bei [mm] \pm0.5, [/mm] von b bei [mm] \pm0.2 [/mm] und von c bei -0.5, +0.2. Die Werte werden in die Funktion
f(a,b,c) = [mm] \bruch{a^2 + 1}{b^2+3} \wurzel{\bruch{2}{c} + 4} [/mm] eingesetzt. Bestimme den Wert sowie die Fehlerschranken von f(a,b,c). Hinweis: Zerlege die Funktion in einer Verkettung von Teilfunktion und nutze zur Bestimmung der Fehlerschranken die Monotonie dieser Teilfunktion. |
Ich weiß leider nicht so recht, was ich damit machen soll. Wenn ich die Werte einsetze bekomme ich zwar ein Ergebnis, aber eine Fehlerabschätzung kann ich nicht vornehmen, da ich nicht genau weiß, was zu tun ist. Wenn ich jetzt die Werte mit den Absoluten Werten subtrahiere bekomme ich einen Wert mit absoluter Fehlerabschätzung heraus. Ist das denn richtig? Und wie bildet man genau Teilfunktionen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> In einer Messung wurden dei Größen a, b und c zu a =2, b=4
> und c=3 bestimmt; dabei liegt der maximal mögliche
> (absolute) Fehler von a bei [mm]\pm0.5,[/mm] von b bei [mm]\pm0.2[/mm] und
> von c bei -0.5, +0.2. Die Werte werden in die Funktion
>
> f(a,b,c) = [mm]\bruch{a^2 + 1}{b^2+3} \wurzel{\bruch{2}{c} + 4}[/mm]
> eingesetzt. Bestimme den Wert sowie die Fehlerschranken von
> f(a,b,c). Hinweis: Zerlege die Funktion in einer Verkettung
> von Teilfunktion und nutze zur Bestimmung der
> Fehlerschranken die Monotonie dieser Teilfunktion.
> Ich weiß leider nicht so recht, was ich damit machen
> soll. Wenn ich die Werte einsetze bekomme ich zwar ein
> Ergebnis, aber eine Fehlerabschätzung kann ich nicht
> vornehmen, da ich nicht genau weiß, was zu tun ist. Wenn
> ich jetzt die Werte mit den Absoluten Werten subtrahiere
> bekomme ich einen Wert mit absoluter Fehlerabschätzung
> heraus. Ist das denn richtig? Und wie bildet man genau
> Teilfunktionen?
Das kommt darauf an: ein Prof. in einer Mathevorlesung empfahl zur Lösung erst einmal die Methode des Anstarrens. 
Im Ernst: Die Funktion f(a,b,c) lässt sich recht einfach in Teile zerlegen, in denen nicht alle Variablen vorkommen, zum Beispiel:
[mm] f(a,b,c) = \bruch{a^2 + 1}{b^2+3} \wurzel{\bruch{2}{c} + 4} = \underbrace{\bruch{a^2 + 1}{b^2+3}}_{f_1(a,b)}* \underbrace{\wurzel{\bruch{2}{c} + 4}}_{f_2(c)} [/mm],
und [mm] $f_1(a,b)$ [/mm] lässt sich noch weiter zerlegen.
Da zum Beispiel die Variable c nicht in [mm] $f_1(a,b)$ [/mm] vorkommt, kannst du die Fehlerfortpflanzung durch die Messungenauigkeit von c allein mit [mm] $f_2(c)$ [/mm] bestimmen.
Außerdem gilt: da $f(a,b,c) = [mm] f_1(a,b)* f_2(c)$, [/mm] ist der relative Fehler von f gleich der Summe der relativen Fehler von [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$.
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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Danke für den Hinweis.
Ich habe nun f(a,b,c) = $ [mm] \bruch{a^2 + 1}{b^2+3} \wurzel{\bruch{2}{c} + 4} [/mm] $. Wenn ich Gleichung nun zerlege und die Werte einsetze bekomme ich nun folgendes Ergebnis heraus:
f(a,b,c) = $ [mm] \underbrace{(2^2 + 1)}_{=f(a)}*\underbrace{(4^2+3)}_{=f(b)}*\underbrace{\wurzel{\bruch{2}{3} + 4}}_{=f(c)} [/mm] = 5 * 19 * [mm] \wurzel{\bruch{14}{3}}$ [/mm]
> Außerdem gilt: da $ f(a,b,c) = [mm] f_1(a,b)\cdot{} f_2(c) [/mm] $, ist der relative Fehler von f gleich der Summe der relativen Fehler von $ [mm] f_1 [/mm] $ und $ [mm] f_2 [/mm] $.
Ich bin mir immer noch nicht sicher, was hier gefordert wird. Es gibt doch hier unendlich viele Fehlerwerte, welchen genau soll ich denn nehmen? Meinst du hier vielleicht etwa einen Durchschnittsfehlerwert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 18.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für den Hinweis.
>
> Ich habe nun f(a,b,c) = [mm]\bruch{a^2 + 1}{b^2+3} \wurzel{\bruch{2}{c} + 4} [/mm].
> Wenn ich Gleichung nun zerlege und die Werte einsetze
> bekomme ich nun folgendes Ergebnis heraus:
>
> f(a,b,c) = [mm]\underbrace{(2^2 + 1)}_{=f(a)}*\underbrace{(4^2+3)}_{=f(b)}*\underbrace{\wurzel{\bruch{2}{3} + 4}}_{=f(c)} = 5 * 19 * \wurzel{\bruch{14}{3}}[/mm]
Das stimmt nicht ganz, denn [mm] $b^2+3$ [/mm] steht im Nenner.
> > Außerdem gilt: da [mm]f(a,b,c) = f_1(a,b)\cdot{} f_2(c) [/mm], ist
> der relative Fehler von f gleich der Summe der relativen
> Fehler von [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2 [/mm].
>
> Ich bin mir immer noch nicht sicher, was hier gefordert
> wird. Es gibt doch hier unendlich viele Fehlerwerte,
> welchen genau soll ich denn nehmen? Meinst du hier
> vielleicht etwa einen Durchschnittsfehlerwert?
Nein, den maximalen Fehlerwert. Du hast die drei Messgrößen $a,b,c$, deren Werte nur mit gewissen Fehlern bekannt sind. Du willst wissen, welchen Wert $f(a,b,c)$ hat und welchen Fehler $(a,b,c)$ durch die Fehler von $a,b,c$ bekommt. Durch die Zerlegung in die drei Funktionen kannst du die Auswirkung der drei einzelnen Fehler auf $f(a,b,c)$ getrennt untersuchen.
Viele Grüße
Rainer
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> Das stimmt nicht ganz, denn $ [mm] b^2+3 [/mm] $ steht im Nenner.
Ooops...dann sollte das so richtig sein:
f(a,b,c) = $ [mm] \underbrace{(2^2 + 1)}_{=f(a)}\cdot{}\underbrace{(\bruch{1}{4^2+3})}_{=f(b)}\cdot{}\underbrace{\wurzel{\bruch{2}{3} + 4}}_{=f(c)} [/mm] = 5 [mm] \cdot{} \bruch{1}{19} \cdot{} \wurzel{\bruch{14}{3}} [/mm] $
Setzt man die Fehlerwerte ein, ergeben sich 9 Fehlerschranken:
1. [mm] f(a,b,c)=(2,5^2 [/mm] + [mm] 1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{3,2} + 4}
[/mm]
2. [mm] f(a,b,c)=(1,5^2 [/mm] + [mm] 1)*(\bruch{1}{3,8^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}
[/mm]
3. [mm] f(a,b,c)=(1,5^2 [/mm] + [mm] 1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}
[/mm]
4. [mm] f(a,b,c)=(2,5^2 [/mm] + [mm] 1)*(\bruch{1}{3,8^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{3,2} + 4}
[/mm]
5. [mm] f(a,b,c)=(2,5^2 [/mm] + [mm] 1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}
[/mm]
6. [mm] f(a,b,c)=(1,5^2 [/mm] + [mm] 1)*(\bruch{1}{3,8^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{3,2} + 4}
[/mm]
7. [mm] f(a,b,c)=(1,5^2 [/mm] + [mm] 1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}
[/mm]
8. [mm] f(a,b,c)=(1,5^2 [/mm] + [mm] 1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{3,2} + 4}
[/mm]
9. [mm] f(a,b,c)=(2,5^2 [/mm] + [mm] 1)*(\bruch{1}{3,8^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mo 19.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Das stimmt nicht ganz, denn [mm]b^2+3[/mm] steht im Nenner.
>
> Ooops...dann sollte das so richtig sein:
>
> f(a,b,c) = [mm]\underbrace{(2^2 + 1)}_{=f(a)}\cdot{}\underbrace{(\bruch{1}{4^2+3})}_{=f(b)}\cdot{}\underbrace{\wurzel{\bruch{2}{3} + 4}}_{=f(c)} = 5 \cdot{} \bruch{1}{19} \cdot{} \wurzel{\bruch{14}{3}}[/mm]
>
> Setzt man die Fehlerwerte ein, ergeben sich 9
> Fehlerschranken:
> 1. [mm]f(a,b,c)=(2,5^2[/mm] +
> [mm]1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{3,2} + 4}[/mm]
> 2.
> [mm]f(a,b,c)=(1,5^2[/mm] +
> [mm]1)*(\bruch{1}{3,8^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}[/mm]
> 3.
> [mm]f(a,b,c)=(1,5^2[/mm] +
> [mm]1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}[/mm]
> 4.
> [mm]f(a,b,c)=(2,5^2[/mm] +
> [mm]1)*(\bruch{1}{3,8^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{3,2} + 4}[/mm]
> 5.
> [mm]f(a,b,c)=(2,5^2[/mm] +
> [mm]1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}[/mm]
> 6.
> [mm]f(a,b,c)=(1,5^2[/mm] +
> [mm]1)*(\bruch{1}{3,8^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{3,2} + 4}[/mm]
> 7.
> [mm]f(a,b,c)=(1,5^2[/mm] +
> [mm]1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}[/mm]
> 8.
> [mm]f(a,b,c)=(1,5^2[/mm] +
> [mm]1)*(\bruch{1}{4,2^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{3,2} + 4}[/mm]
> 9.
> [mm]f(a,b,c)=(2,5^2[/mm] +
> [mm]1)*(\bruch{1}{3,8^2+3})*\wurzel{\bruch{2}{2,5} + 4}[/mm]
>
Aber 3 und 7 sind dieselben. Es sind nur 8 Möglichkeiten, wovon nur der kleinste und der größte Wert interressant sind. Und die bekommst du, wenn f(a) und f(b) und f(c) minimal bzw. wenn diese drei Funktionen alle maximal sind.
Viele Grüße
Rainer
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