Fehlerabschätzung Taylor < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Für welche x > 0 ist der Approximationsfehler der Taylor-Näherung kleiner als [mm] 10^{-7}?
[/mm]
[mm] e^x \approx 1+x+\bruch{x^2}{2} [/mm] für x [mm] \approx [/mm] 0 |
Hallo.
Ich weiß, dass ich hier das Restglied geeignet abzuschätzen habe. Es gilt ja:
[mm] e^x [/mm] = [mm] 1+x+\bruch{x^2}{2}+ [/mm] R mit R = [mm] \bruch{e^y}{6}*x^3, y\in(0,x)
[/mm]
Ich würde es nun so machen:
x [mm] \approx [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x<1 [mm] \Rightarrow [/mm] y<1
[mm] \bruch{e^y}{6}*x^3 [/mm] <= [mm] \bruch{e}{6}*x^3 <10^{-7} \gdw \wurzel[3]{\bruch{6*10^{-7}}{e}}
[/mm]
Find ich aber ein wenig "grob" abgeschätzt bzw bin ich mir nicht sicher, ob das tatsächlich so von mir verlangt wurde...
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> Für welche x > 0 ist der Approximationsfehler der
> Taylor-Näherung kleiner als [mm]10^{-7}?[/mm]
>
> [mm]e^x\ \approx\ 1+x+\bruch{x^2}{2}[/mm] für x [mm]\,\approx\,[/mm] 0
> Hallo.
>
> Ich weiß, dass ich hier das Restglied geeignet
> abzuschätzen habe. Es gilt ja:
> [mm]e^x[/mm] = [mm]1+x+\bruch{x^2}{2}+[/mm] R mit R = [mm]\bruch{e^y}{6}*x^3, y\in(0,x)[/mm]
>
> Ich würde es nun so machen:
>
> x [mm]\approx[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x<1 [mm]\Rightarrow[/mm] y<1
Das kannst du nicht einfach so schreiben. Mache aus-
drücklich klar, dass du x<1 zusätzlich voraussetzt.
> [mm]\bruch{e^y}{6}*x^3\ \le\ \bruch{e}{6}*x^3 <10^{-7} \gdw \wurzel[3]{\bruch{6*10^{-7}}{e}}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da sollte doch auf der rechten Seite wieder eine
Ungleichung stehen und nicht bloß ein Term mit
einem Zahlenwert !
> Find ich aber ein wenig "grob" abgeschätzt bzw bin ich mir
> nicht sicher, ob das tatsächlich so von mir verlangt
> wurde...
Ich vermute, dass wirklich "nur" eine Abschätzung der
Art erwartet wurde, wie du sie im Wesentlichen durch-
geführt hast. Eine genauere Einschränkung des
Gültigkeitsbereiches der Approximation könnte man
natürlich leicht erhalten, wenn man die Differenzfunktion
[mm] d(x)\,:=\ e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)$
[/mm]
z.B. mittels GTR untersucht.
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