Fehlerbestimmung Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne näherungsweise [mm] \wurzel[10]{1028} [/mm] durch die allg. Binomische Formel bei Abbruch nach dem linearen Term (n=1). Schätze den Fehler ab. |
Hallo.
Ich bin an die Aufgabe wie folgt rangegangen. 2^10 = 1024. Dem folgt [mm] \wurzel[10]{1028} [/mm] = [mm] 2*\wurzel[10]{1+x} [/mm] mit 0<x<1.
[mm] \wurzel[10]{1+x} [/mm] = [mm] (1+x)^\alpha [/mm] mit [mm] \alpha=\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] (1+x)^\alpha= \summe_{i=0}^{n}\vektor{\alpha \\ i}+Restglied
[/mm]
Mein Restglied wäre nun
[mm] \vektor{\alpha \\ 2}(1+\beta*x)^{\alpha-2}*x^2 [/mm] Wobei [mm] 0<\beta<1 [/mm] ist. Ist das überhaupt richtig?
Was bedeutet nun den Fehler abschätzen? Sage ich was der Fehler (das Restglied) max. und min. betragen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Berechne näherungsweise [mm]\wurzel[10]{1028}[/mm] durch die allg.
> Binomische Formel bei Abbruch nach dem linearen Term (n=1).
> Schätze den Fehler ab.
> Hallo.
> Ich bin an die Aufgabe wie folgt rangegangen. 2^10 = 1024.
> Dem folgt [mm]\wurzel[10]{1028}[/mm] = [mm]2*\wurzel[10]{1+x}[/mm] mit
> 0<x<1.
>
> [mm]\wurzel[10]{1+x}[/mm] = [mm](1+x)^\alpha[/mm] mit [mm]\alpha=\bruch{1}{10}[/mm]
>
> [mm](1+x)^\alpha= \summe_{i=0}^{n}\vektor{\alpha \\ i}+Restglied[/mm]
>
> Mein Restglied wäre nun
>
> [mm]\vektor{\alpha \\ 2}(1+\beta*x)^{\alpha-2}*x^2[/mm] Wobei
Der Binomialkoeffizent [mm] \vektor{\alpha \\ 2} [/mm] ist nur für [mm] \alpha\in\IN [/mm] definiert und nicht für [mm] \alpha\in\IQ
[/mm]
> [mm]0<\beta<1[/mm] ist. Ist das überhaupt richtig?
>
Die Taylorreihe für n=1 sieht folgendermaßen aus wenn Du f(x) um [mm] x_0=0 [/mm] entwickeln möchtest
[mm] f(x)=f(0)+\bruch{df}{dx}(0)*{x}+Rest(x) [/mm] mit f(0)=2 und [mm] \bruch{df}{dx}(0)=0.2 [/mm] und [mm] x=\bruch{4}{2^{10}}
[/mm]
Für das Lagrange Restglied gilt
[mm] Rest(x)=\bruch{f''(\xi)}{2}x^2 [/mm] mit [mm] x=\bruch{4}{2^{10}} [/mm] und [mm] 0\le\xi\le{x}
[/mm]
> Was bedeutet nun den Fehler abschätzen? Sage ich was der
> Fehler (das Restglied) max. und min. betragen kann?
Der Fehler der linearen Approximation ist gerade das Restglied das aber von x und [mm] \xi [/mm] abhängt. Also musst Du den Betrag des Restgliedes abschätzen, d.h. herausfinden welchen Wert das Restglied nicht überschreitet für alle zulässigen Werte von [mm] \xi [/mm] und für [mm] x=\bruch{4}{2^{10}}
[/mm]
mfg ullim
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Hi, vielen Dank für die Antowort.
Leider habe ich noch einige Fragen.
>Die Taylorreihe für n=1 sieht folgendermaßen aus wenn Du f(x) um $ [mm] x_0=0 [/mm] $ entwickeln möchtest
>$ [mm] f(x)=f(0)+\bruch{df}{dx}(0)\cdot{}{x}+Rest(x) [/mm] $
okay, verstanden: Ist ja im Prinzip nur die Formel.
>mit f(0)=2 und $ [mm] \bruch{df}{dx}(0)=0.2 [/mm] $
aha, bei mir ging das immer schief, weil ich die 2 vergessen habe. Auch verstanden.
>und $ [mm] x=\bruch{4}{2^{10}} [/mm] $
Nur wie komme ich auf das x?
Muss ich das Gleichsetzen? Womit?
>Für das Lagrange Restglied gilt
>$ [mm] Rest(x)=\bruch{f''(\xi)}{2}x^2 [/mm] $ mit $ [mm] x=\bruch{4}{2^{10}} [/mm] $ und $ [mm] 0\le\xi\le{x} [/mm] $
Auh klar nur wie oben, wo kommt das x her?
>> Was bedeutet nun den Fehler abschätzen? Sage ich was der
>> Fehler (das Restglied) max. und min. betragen kann?
>Der Fehler der linearen Approximation ist gerade das Restglied das aber von x und $ [mm] \xi [/mm] $ abhängt. Also musst Du den Betrag des Restgliedes abschätzen, >d.h. herausfinden welchen Wert das Restglied nicht überschreitet für alle zulässigen Werte von $ [mm] \xi [/mm] $ und für $ [mm] x=\bruch{4}{2^{10}} [/mm] $
Okay, verstanden.
Tut mir Leid, wenn da wirklich doofe Fragen zusammenkommen. Ich habe hier leider keine Literatur zu Hause; im Netz habe auch nur nichthinreichendes gefunden. Das ist das erste Mal, dass mir soetwas unterkommt.
mfg und Danke, carlos
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hi, vielen Dank für die Antowort.
> Leider habe ich noch einige Fragen.
>
> >Die Taylorreihe für n=1 sieht folgendermaßen aus wenn Du
> f(x) um [mm]x_0=0[/mm] entwickeln möchtest
>
> >[mm] f(x)=f(0)+\bruch{df}{dx}(0)\cdot{}{x}+Rest(x)[/mm]
>
> okay, verstanden: Ist ja im Prinzip nur die Formel.
>
>
> >mit f(0)=2 und [mm]\bruch{df}{dx}(0)=0.2[/mm]
>
> aha, bei mir ging das immer schief, weil ich die 2
> vergessen habe. Auch verstanden.
>
>
> >und [mm]x=\bruch{4}{2^{10}}[/mm]
>
>
> Nur wie komme ich auf das x?
> Muss ich das Gleichsetzen? Womit?
>
>
Du hast ja [mm] 1028^\bruch{1}{10}=2*(1+x)^\bruch{1}{10}
[/mm]
Daraus folgt [mm] x=\bruch{4}{2^{10}}
[/mm]
>
> >Für das Lagrange Restglied gilt
>
> >[mm] Rest(x)=\bruch{f''(\xi)}{2}x^2[/mm] mit [mm]x=\bruch{4}{2^{10}}[/mm]
> und [mm]0\le\xi\le{x}[/mm]
>
> Auh klar nur wie oben, wo kommt das x her?
>
Das x in der Formel für das Restglied vorkommt ist ja klar. Der konkrete Wert kommt von oben.
> >> Was bedeutet nun den Fehler abschätzen? Sage ich was
> der
> >> Fehler (das Restglied) max. und min. betragen kann?
>
> >Der Fehler der linearen Approximation ist gerade das
> Restglied das aber von x und [mm]\xi[/mm] abhängt. Also musst Du den
> Betrag des Restgliedes abschätzen, >d.h. herausfinden
> welchen Wert das Restglied nicht überschreitet für alle
> zulässigen Werte von [mm]\xi[/mm] und für [mm]x=\bruch{4}{2^{10}}[/mm]
>
> Okay, verstanden.
>
> Tut mir Leid, wenn da wirklich doofe Fragen zusammenkommen.
> Ich habe hier leider keine Literatur zu Hause; im Netz habe
> auch nur nichthinreichendes gefunden. Das ist das erste
> Mal, dass mir soetwas unterkommt.
>
Hilft das?
mfg ullim
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ja, das hilft super.
Ich danke!
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