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Hallo Leute!
Leider ist mir ein großer Teil meiner Mitschrift aus der Vorlesung nicht klar geworden, aber vielleicht hat ja jemand von euch Zeit und vor allem Lust mir da zu helfen. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Schlimmer noch, meine Mitschrift ist auch noch unvollständig, weil ich eine Folie nicht schnell genug abschreiben konnte. Ok, ich schreib's jetzt mal hin, und versuche zu kommentieren. Mal sehen, wo mein Verständnis aufhört:
Fehlerfortpflanzung:
Exakte Rechenoperationen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Gleitkommaoperationen
[mm] $\mathrm{gl}\left(a+b\right),\mathrm{gl}\left(a-b\right),\mathrm{gl}\left(a\cdot{b}\right),\mathrm{gl}\left(a/b\right)$
[/mm]
Annahme:
Gleitkomma-Operationen erfüllen:
[mm]\begin{array}{ll}\mathrm{gl}\left(a+b\right) = \left(a+b\right)\left(1+\alpha\right), & \mathrm{gl}\left(a-b\right) = \left(a-b\right)\left(1+\beta\right), \\ \mathrm{gl}\left(a\cdot{b}\right) = a\cdot{b}\left(1+\gamma\right), & \mathrm{gl}\left(a/b\right) = a/b\left(1+\delta\right)\end{array}[/mm]
mit relativen Fehlern [mm] $\left|\alpha\right|, \left|\beta\right|, \left|\gamma\right|, \left|\delta\right| \leqslant k\cdot{\mathrm{eps}}$, [/mm] wobei $k$ nur wenig größer als 1.
Was ist dieses $k$ hier?
Ein exakter Algorithmus [mm] $\Psi:x \in \mathbb{R}^{n_0} \to \Psi\left(x\right) \in \mathbb{R}^{n_N}$ [/mm] sei durch das Produkt von Abbildungen [mm] $\Phi_i: \mathbb{R}^{n_i} \to \mathbb{R}^{n_{i+1}}$ [/mm] als [mm] $\Psi\left(x\right) [/mm] := [mm] \Phi_N \circ \Phi_{N-1} \circ \dotsb \circ \widetilde{\Phi}_i \circ \dotsb \circ \widetilde{\Phi}_0\left(x\right)$ [/mm] gegeben.
Was genau ist nun dieses [mm] $\Psi$? [/mm] Wäre schön, wenn mir jemand in seinen eigenen Worten erläutern könnte, was da oben steht. Ich verstehe das so: Es ist eine Starteingabe-Dimension [mm] $n_0$ [/mm] und eine Endausgabe-Dimension [mm] $n_N$ [/mm] für [mm] $\Psi$ [/mm] vorgesehen. Da [mm] $\Psi$ [/mm] eine Komposition ist, wird ein Argument mit Dimension [mm] $n_0$ [/mm] quasi "nach vorne" durch die verschiedenen Algos [mm] $\Phi_i$ [/mm] "weitergereicht" (die Übergabe-Formate (also Dimensionen) werden entsprechend "angepasst". Stimmt das so ungefähr? Und was für eine Bedeutung haben diese "Tilden-Phis"? Wenn das eine Art Fehler sein soll, so verstehe ich das noch viel weniger, da [mm] $\Psi$ [/mm] doch exakt sein soll. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Im ersten Schritt wird der Fehler [mm] $\widetilde{\Phi}_0\left(x\right) [/mm] - [mm] \Phi_0\left(x\right)$ [/mm] begangen. Bei exakter Weiterrechnung würde dieser Fehler durch die Restabbildung [mm] $\Psi^{\left(1\right)}\left(x\right) [/mm] := [mm] \Phi_N\dots\Phi_1\left(x\right)$ [/mm] fortgepflanzt. Ok, also doch kein exakter Algorithmus? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Mittels [mm] $\widetilde{\Psi}^{\left(1\right)}\left(x\right) [/mm] := [mm] \widetilde{\Phi}_N\dots\widetilde{\Phi}_1\left(x\right)$ [/mm] kann man den Gesamtfehler aufteilen Warum werden jetzt überall diese Tilden gesetzt? :
Und diese Rechnung verstehe ich irgendwie überhaupt nicht ...
[mm] $\widetilde{\Psi}\left(x\right) [/mm] - [mm] \Psi\left(x\right) [/mm] = [mm] \left[\widetilde{\Psi}^{\left(1\right)}\left(\widetilde{\Phi}_0\left(x\right)\right) - \Psi^{\left(1\right)}\left(\widetilde{\Phi}_0\left(x\right)\right)\right] [/mm] + [mm] \left[\Psi^{\left(1\right)}\left(\widetilde{\Phi}_0\left(x\right)\right) - \Psi^{\left(1\right)}\left(\Phi_0\left(x\right)\right)\right]$
[/mm]
Beispiel für Rekursionsaufgabe:
[mm] $I_{h+1} [/mm] = [mm] 1-\left(h+1\right)I_h;\; I_0 \xrightarrow{\widetilde{\Phi}_0} I_1 \xrightarrow{\widetilde{\Phi}_1}\dots\xrightarrow{\widetilde{\Phi}_{29}} I_{30}$
[/mm]
Dieses Beispiel bezieht sich auf eine Aufgabe, die wir am Anfang gestellt bekommen haben. Es handelte sich um das Integral:
[mm] $\frac{1}{e}\int_{0}^{1}{e^xx^kdx};\; [/mm] k = [mm] 0,1,\dotsc$
[/mm]
mit den Rekursionsformeln:
[mm] $I_{k+1} [/mm] := [mm] 1-\left(k+1\right)I_k;\; k=0,1,\dotsc,K-1$
[/mm]
und
[mm] $I_{k-1} [/mm] := [mm] \frac{1-I_k}{k};\; [/mm] k = K, [mm] K-1,\dotsc,1$
[/mm]
mit den Startwerten [mm] $I_0$ [/mm] resp. [mm] $I_K$.
[/mm]
Aber was wird hier nun gemacht?
Die erste Klammer gibt den Gesamtfehler des gestörten Restalgorithmus [mm] $\widetilde{\Psi}^{\left(1\right)}$ [/mm] bei Start mit [mm] $\widetilde{\Phi}_0\left(x\right)$ [/mm] an, die Zweite, die Auswirkung des Fehlers [mm] $\widetilde{\Phi}_0\left(x\right) [/mm] - [mm] \Phi_0\left(x\right)$ [/mm] in der exakten Restabbildung [mm] $\Psi^{\left(1\right)}$. [/mm] Danach kann man dieselbe Überlegung ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") auf den Restalgorithmus [mm] $\widetilde{\Psi}^{\left(1\right)}$ [/mm] anwenden, um den Fehler [mm] $\widetilde{\Phi}_1\left(\widetilde{\Phi}_0\left(x\right)\right) [/mm] - [mm] \Phi_1\left(\widetilde{\Phi}_0\left(x\right)\right)$ [/mm] im zweiten Teilalgorithmus [mm] $\widetilde{\Phi}_1$ [/mm] abzuspalten. Es bleibt dann der Fehler des Restalgorithmus [mm] $\widetilde{\Psi}^{\left(2\right)}\left(x\right) [/mm] := [mm] \widetilde{\Phi}_N\dots\widetilde{\Phi}_2\left(x\right)\dots$
[/mm]
(Folie entfernt!)
Es tut mir Leid, aber ich ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]") .
Wäre Klasse, wenn sich einer die Zeit dafür nehmen könnte. Hoffentlich verlange ich nicht zuviel...
Vielen Dank!!
Schöne Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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Hallo Karl!
Ich fürchte, viel von deiner Mitschrift verstehe ich auch nicht, jedenfalls nicht so, dass ich es dir mit Sicherheit erklären könnte... Aber eine Kleinigkeit habe ich doch:
> Dieses Beispiel bezieht sich auf eine Aufgabe, die wir am
> Anfang gestellt bekommen haben. Es handelte sich um das
> Integral:
>
>
> [mm]\frac{1}{e}\int_{0}^{1}{e^xx^kdx};\; k = 0,1,\dotsc[/mm]
>
>
> mit den Rekursionsformeln:
>
>
> [mm]I_{k+1} := 1-\left(k+1\right)I_k;\; k=0,1,\dotsc,K-1[/mm]
>
> und
>
> [mm]I_{k-1} := \frac{1-I_k}{k};\; k = K, K-1,\dotsc,1[/mm]
>
>
> mit den Startwerten [mm]I_0[/mm] resp. [mm]I_K[/mm].
>
> Aber was wird hier nun gemacht?
>
Hier hilft dir evtl. das hier oder noch eher das hier. Solltest du dazu immer noch Fragen haben, kannst du sie gerne stellen, ich glaube, diese unsere Aufgabe dazu habe ich mittlerweile verstanden. 
Oder habe ich deine Frage nur nicht richtig verstanden?
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Bastiane!
> Hier hilft dir evtl.
> das hier oder noch
> eher das hier.
> Solltest du dazu immer noch Fragen haben, kannst du sie
> gerne stellen, ich glaube, diese unsere Aufgabe dazu habe
> ich mittlerweile verstanden.
>
> Oder habe ich deine Frage nur nicht richtig verstanden?
Nein, ich denke, daß ich schonmal ein guter Anfang für mich! 
Vielen Dank!
Ich bin mir ja selbst nicht sicher, was ich genau fragen will, weil mir eigentlich der komplette dortige Abschnitt Probleme bereitet. Jedenfalls versuche ich das jetzt mal anhand deiner Frage dort zu verstehen, und kann ja dort nachfragen, wenn es unklar wird.
Hmm ... Interessant, daß wir beide damals die gleichen Aufgaben lösen mußten. Ich frage mich, ob wir auch sonst ähnliche Aufgaben bekommen...
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Hallo Karl,
> Fehlerfortpflanzung:
>
>
> Exakte Rechenoperationen [mm]\Rightarrow[/mm] Gleitkommaoperationen
>
> [mm]\mathrm{gl}\left(a+b\right),\mathrm{gl}\left(a-b\right),\mathrm{gl}\left(a\cdot{b}\right),\mathrm{gl}\left(a/b\right)[/mm]
>
>
>
> Annahme:
>
>
> Gleitkomma-Operationen erfüllen:
>
>
> [mm]\begin{array}{ll}\mathrm{gl}\left(a+b\right) = \left(a+b\right)\left(1+\alpha\right), & \mathrm{gl}\left(a-b\right) = \left(a-b\right)\left(1+\beta\right), \\ \mathrm{gl}\left(a\cdot{b}\right) = a\cdot{b}\left(1+\gamma\right), & \mathrm{gl}\left(a/b\right) = a/b\left(1+\delta\right)\end{array}[/mm]
>
>
> mit relativen Fehlern [mm]\left|\alpha\right|, \left|\beta\right|, \left|\gamma\right|, \left|\delta\right| \leqslant k\cdot{\mathrm{eps}}[/mm],
> wobei [mm]k[/mm] nur wenig größer als 1.
>
>
> Was ist dieses [mm]k[/mm] hier?
Das verstehe ich auch nicht zumindest wenn eps der Rundungsfehler sein soll.Hmm Denn eigentlich sollte ja ![[]](/images/popup.gif) IEEE gelten
> Ein exakter Algorithmus [mm]\Psi:x \in \mathbb{R}^{n_0} \to \Psi\left(x\right) \in \mathbb{R}^{n_N}[/mm]
> sei durch das Produkt von Abbildungen [mm]\Phi_i: \mathbb{R}^{n_i} \to \mathbb{R}^{n_{i+1}}[/mm]
> als [mm]\Psi\left(x\right) := \Phi_N \circ \Phi_{N-1} \circ \dotsb \circ \widetilde{\Phi}_i \circ \dotsb \circ \widetilde{\Phi}_0\left(x\right)[/mm]
> gegeben.
Exakter Algorithmus soll wohl exakt bis auf Rundungsfehler heißen. Es gäbe ja auch noch andere Fehler z.B. Approximationsfehler. Also solche die im Algorithmus selbst stecken und nicht durch die Genauigkeit des Computers beeinflußt werden.
> Im ersten Schritt wird der Fehler
> [mm]\widetilde{\Phi}_0\left(x\right) - \Phi_0\left(x\right)[/mm]
> begangen. Bei exakter Weiterrechnung würde dieser Fehler
> durch die Restabbildung [mm]\Psi^{\left(1\right)}\left(x\right) := \Phi_N\dots\Phi_1\left(x\right)[/mm]
> fortgepflanzt. Ok, also doch kein exakter Algorithmus?
>
>
> Mittels [mm]\widetilde{\Psi}^{\left(1\right)}\left(x\right) := \widetilde{\Phi}_N\dots\widetilde{\Phi}_1\left(x\right)[/mm]
> kann man den Gesamtfehler aufteilen Warum werden jetzt
> überall diese Tilden gesetzt? :
>
>
> Und diese Rechnung verstehe ich irgendwie überhaupt nicht
> ...
>
> [mm]\widetilde{\Psi}\left(x\right) - \Psi\left(x\right) = \left[\widetilde{\Psi}^{\left(1\right)}\left(\widetilde{\Phi}_0\left(x\right)\right) - \Psi^{\left(1\right)}\left(\widetilde{\Phi}_0\left(x\right)\right)\right] + \left[\Psi^{\left(1\right)}\left(\widetilde{\Phi}_0\left(x\right)\right) - \Psi^{\left(1\right)}\left(\Phi_0\left(x\right)\right)\right][/mm]
Eigentlich nur eine nahrhafte Null eingesetzt:
Mit "meinen" Worten
h(x)=f(g(x))
[mm] \widetilde{h}(x)-h(x)=\widetilde{f}(\widetilde{g}(x))-f((\widetilde{g}(x))+f((\widetilde{g}(x))-f(g(x))
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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