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Fehlerwahrscheinlichkeit: Ergebniss korrekt?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Di 14.03.2006
Autor: ONeill

Aufgabe
In einer Werkstatt werden Schalter zusammengebaut. 40% aller Schalter montiert Person A. In der Regel arbeiten 90% der Schalter von A einwandfrei. Die Werkstatt liefert zu 95% einwandfreie Schalter. ein der Produktion zufällig entnommener Schalter wird geprüft und erweißt sich als fehlerhaft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat A ihn zusammengebaut.

Hy!
Also díe Wahrscheinlichkeit dass A seine Schalter richtig baut liegt bei 90%. Da er 40% der Schalter der Firma baut sind insgesammt 4% die die Firma falsch produziert von ihm.
Da die Firma aber insgesammt nur zu 5 % flasch produziert bleibt praktisch noch 1% übrig. damit läge die Wahrscheinlichkeit, dass der defekte Schalter von ihm ist bei 20%.
Liege ich da richtig?
Danke für eure Hilfe und noch einen schönen Abend!
ONeill

        
Bezug
Fehlerwahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 Mi 15.03.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Morgen,

also schauen wir mal.

Sei S die Menge der Schalter, A die Menge der von A gebauten Schalter, F die Menge der fehlerhaften Schalter und
[mm] A_f [/mm] die Menge der von A fehlerhaft gebauten Schalter.

Dann gilt

[mm] |A|=\frac{4}{10}\cdot |S|=\frac{2}{5}\cdot [/mm] |S|

[mm] |A_f| =\frac{1}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot |S|=\frac{1}{25}\cdot [/mm] |S|

[mm] |F|=\frac{1}{20}\cdot [/mm] |S|

und [mm] A_f\subseteq [/mm] F, also

[mm] |A_f| [/mm] = [mm] \frac{1}{25}\cdot [/mm] |S| = [mm] \frac{1}{25}\cdot 20\cdot [/mm] |F| = [mm] \frac{20}{25}\cdot [/mm] |F|

d.h. A baut   80% aller fehlerhaftern Schalter.

Wenn wir also einen fehlerhaften Schalter haben, ist dieser mit 80 % Wahrscheinlichkeit von A gebaut.

Wenn wir einen Schalter haben, ist dieser mit 4% ein von A fehlerhaft gebauter Schalter.

Klar soweit ?

(Die Zahl 1% kommt dabei nicht vor.)

Gruss,

Mathias





Bezug
        
Bezug
Fehlerwahrscheinlichkeit: Bayes
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mi 15.03.2006
Autor: Astrid

Hallo ONeill,

>  Also díe Wahrscheinlichkeit dass A seine Schalter richtig
> baut liegt bei 90%. Da er 40% der Schalter der Firma baut
> sind insgesammt 4% die die Firma falsch produziert von
> ihm.
>  Da die Firma aber insgesammt nur zu 5 % flasch produziert
> bleibt praktisch noch 1% übrig. damit läge die
> Wahrscheinlichkeit, dass der defekte Schalter von ihm ist
> bei 20%.

Kleiner Fehler:

Von den 5% falschen Teilen, die die Firma produziert, sind 4 Prozentpunkte von A. Also ist die Wahrscheinlichkeit [mm] $\bruch{4}{5}=80$% [/mm]

Allgemein (mathematischer ;-)) kannst du, ergänzend zu der Antwort von Mathias, auch mit der Formel von Bayes bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten an das Problem herangehen:

Nennen wir das Ereignis, dass A einen beliebigen Schalter produziert einfach [mm]A[/mm].
Weiterhin nennen wir das Ereignis, dass ein Schalter defekt ist, [mm]B[/mm].


Anmerkung: Für diese Situation kannst du dir ein schönes Baumdiagramm zeichnen: Als ersten Schritt hast du die verzweigungen [mm]A[/mm] und [mm]A^C[/mm], im zweiten die jeweils Verzweigungen [mm]B[/mm] und [mm]B^C[/mm].


Gegeben hast du also:

[mm]P(A)=0,4[/mm]
[mm]P(B\mid A)=0,1[/mm]
[mm]P(B)=0,05[/mm]

Nun ist gesucht: [mm]P(A\mid B)[/mm].

Lösung:

Es gilt nach der Definition der bedingten Erwartung:

[mm]P(A\mid B)=\bruch{P(A\cap B)}{P(B)}=\bruch{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}[/mm]

Das ist auch die []Formel von Bayes.

Also:

[mm]P(A\mid B)=\bruch{0,1 \cdot 0,4}{0,05}=0,8[/mm]

Alles klar? Das ist nichts anderes, als du schon gemacht hast, nur korrekt aufgeschrieben. Manchmal reicht der Verstand allein nämlich nicht aus, da braucht mal auch mal mathematische Formeln. :-)

Viele Grüße
Astrid

Bezug
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