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| Aufgabe | | Wir befinden und im dreidimensionalen Raum. Es ist ein fixer Punkt x gegeben sowie ein normierter Richtungsvektor y der auf dem Fixpunkt aufsitzt. Weiterhin ist ein Fehlerwinkel delta gegeben. Berechnen Sie einen(!) normierten Richtungsvektor z der dem Fehlerwinkel delta für den Richtungsvektor y gerecht wird. |
Wie muss ich voran gehen bei dieser Rechnung? Mir ist klar dass ich von 0 - 360 Grad frei wählen kann in welche Ausrichtung der Fehlerwinkel addiert wird. Allerdings stosse ich bei der weiteren Berechnung auf Hindernisse. Kann jemand helfen ?
Danke vorab,
Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mi 08.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja - da gibt es doch ewig viele Möglichkeiten...
also du hast dies nicht als Beispiel mit richtigen Zahlen gegeben, richtig?
(dann würde man nämlich einfach mal drauf los rechnen)
Wenn man es allgemein möglichst schön mit Variablen beschreiben muss, würde ich es so machen:
y ist garantiert zu eine der Standardachsen linear-unabhängig - wähle eine solche und sei deren normierter Richtungsvektor p genannt.
dann sei q der Vektor von x in Richtung [mm] $x+y+\tan(\delta)*p$
[/mm]
(d.h. am endpunkt von y setzt du einfach die Gegenkathete an, so dass schon mal der Winkel zwischen q und y gerade delta ist)
und diesen Vektor q musst du nun noch durch seine Länge teilen, dann hast du richtige Richtung und richtige Länge
dies macht eine nette kleine Formel - versuchst du es mal?
(dies ist bestimmt keine elegante Lösung, aber bevor du keine Antwort bekommst...)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Nachfrage:
Ich spanne also eine Ebene auf mit Richtungsvektor und unabhängigem Basisvektor und berechne davon den Normalenvektor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 14.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
nicht ganz : man braucht hier keine ganze Ebene aufzuspannen...
Also : du willst an y einen anderen othonormalen Vektor z in dem Punkt x anlegen, so dass y und z den Winkel [mm] $\delta$ [/mm] bilden, richtig?
die idee ist folgende: zeichne mal einen Punkt x und einen normierten Vektor y daran.
Wenn wir jetzt an y ein rechtwinkliges Dreieck anlegen, so dass beim Punkt x der Winkel [mm] $\delta$ [/mm] und am anderen Ende von y die 90° des Dreiecks sind, dann geht die Hyperthenuse des Dreiecks ja schon in die richtige Richtung, oder?
Wenn wir dann noch die Länge normieren (also auf 1 bringen), dann sind wir fertig.
Alles was wir brauchen, ist ein zu y rechtwinkliger Vektor, den wir dann mit der Länge [mm] $\tan(\delta)$ [/mm] an y anheften (nicht im Punkt x, sondern am anderen Ende), dann haben wir schon die richtige Gegenkathete, die das Dreieck dann schon eindeutig bestimmt.
Ich weiß nicht mehr, wieso ich oben nur den Vektor p genommen habe, der ja einer der Vektoren der Standardbasis sein sollte, denn p ist ja gar nicht rechtwinklig zu y.
aber $p'=<y,p>*p-y$ ist dann (frei) nach gram-schmidt ein auf y senkrecht stehender Vektor.
also ist dann [mm] $z'=y+\bruch{\tan(\delta)}{|p'|}*p'$ [/mm] der Vektor in die richtige Richtung und damit also [mm] $z=\bruch{1}{|z'|}*z'$ [/mm] der gesuchte Vektor.
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
Die Rechnung geht bei mir immer noch nicht so richtig auf - alleine schon der resultierende p´ Vektor ist nicht orthogonal zu y.
Beispiel:
x = (0,0,0)
y = (1/Wurzel(3) , 1/Wurzel(3) , 1/Wurzel(3) )
Fehlerwinkel zum aufaddieren 45 Grad
Jetzt nehme ich mir (1,0,0) als von r unabhängigen Basisvektor p.
p' ist dann (1/Wurzel(3))*(1,0,0)-(1/Wurzel(3) , 1/Wurzel(3) , 1/Wurzel(3) )
also p' = (0, - 1/Wurzel(3), -1/Wurzel(3))
das Skalaprodukt von p' und y ist aber nicht null -> beide Vektoren sind nicht orthogonal!
Wo liegt meine Denkfehler?
Gruss und Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mi 15.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast nichts falsch gemacht !
zu meiner Schande muss ich gestehen, dass ich Gram-Schmidt falsch aus dem Kopf hergeleitet habe, es muss so heißen (nachgeschaut!) :
$p'=p-<p,y>*y$
wenn ich dein beispiel mal im Kopf jetzt schnell durchgerechnet habe, kommt auch das Richtige heraus
(sorry, das hätte ich auch schon damals so kontrollieren können, da hast du recht)
Also ich entschuldige mich für die (zweite) Verwirrung, die ich gestiftet habe und versuche in Zukunft nochmal vorher meine eigenen Gedanken auf die Probe zu stellen.
viele Grüsse und vielen Dank
DaMenge
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