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| Aufgabe | Berechnen Sie die Fenchel-Legendre-Transformierte der Poissonverteilung zum Parameter [mm] \lambda [/mm] > 0
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Ich weiß hier nciht so recht weiter ich weiß das die Poisonverteilung
P(x=k) = [mm] \lambda^k/ [/mm] k! * [mm] exp(-\lambda)
[/mm]
jetzt muss ich [mm] \wedge(x)= [/mm] log E(exp(t*k) berechnen aber ich weiß nicht wie genau ich das machen soll!
Geht das über das Integral oder eher über die Summe!
Kann mir jemand einen Tipp geben
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 So 03.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Franziska,
leider ist mir der Ausdruck Fenchel-Legendre-Transformierte nicht
gelaeufig. Ich vermute aber Folgendes: Was du mit [mm] $\mbox{E}[\exp(tk)]$
[/mm]
bezeichnest, ist vermutlich die momenterzeugende Funktion der
Poisson-Verteilung. Diese musst du anders aufschreiben:
[mm] $m(t)=\mbox{E}[\exp(tX)]=\sum_{x=0}^\infty\exp(tx)\frac{\lambda^x}{x!}\exp(-\lambda)$
[/mm]
fuer [mm] $t\in\IR$. [/mm] Es ist nicht sonderlich schwer einzusehen, dass gilt [mm] $m(t)=\exp[\lambda(e^t-1)]$. [/mm] Dann ist [mm] $\Lambda(t)$ [/mm] (nicht [mm] $\Lambda(x)$!) [/mm] gegeben durch [mm] $\Lambda(t)=\lambda(e^t-1)$.
[/mm]
Ich hoffe, du kannst damit etwas anfangen.
lg
Luis
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