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Forum "Uni-Analysis" - Fermatsche Primzahlen
Fermatsche Primzahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fermatsche Primzahlen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Mi 17.11.2004
Autor: Nette

Hi.
Sorry, ist etwas kurzfristig, aber vielleicht kann mir trotzdem jemand helfen.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Zeige, ist [mm] 2^{n} [/mm] eine Primzahl, so ist [mm] n=2^{m}. [/mm]

Als Hinweis haben wir bekommen: Dass wir schreiben sollen: [mm] 2^{kl}+1= (2^{k})^{l}-(-1)^{l} [/mm] für l ungerade und wir sollen die geometrische Reihe verwenden.
Die lautet ja wie folgt:  [mm] z^{n}-w^{n} [/mm] = (z-w) [mm] \summe_{k=0}^{n-1} z^{k}w^{n-1-k} [/mm]

Dann kann man ja (von oben)
[mm] z=2^{k} [/mm] und w= -1 einsetzen, oder.
Das würde dann wie folgt aussehen:
[mm] (2{k})^{l}-(-1)^{l} [/mm] = [mm] (2^{k} [/mm] +1)  [mm] \summe_{i=0}^{l-1} (2^{k})^{l} (-1)^{l-1-i} [/mm]

Aber jetzt komm ich nicht mehr weiter.
Danke für eure Hilfe.

Noch ein Hinweis, den wir bekommen haben: Wir sollen die Kontraposition zeigen, also : Wenn kein m aus  [mm] \IN_{0} [/mm] existiert, so dass n= [mm] 2^{m}, [/mm] dann ist [mm] 2^{n} [/mm] +1 keine Primzahl.

Gruß
Annette

        
Bezug
Fermatsche Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Mi 17.11.2004
Autor: Marc

Hallo Annette!

>  Sorry, ist etwas kurzfristig, aber vielleicht kann mir
> trotzdem jemand helfen.
>  Die Aufgabe lautet wie folgt:
>  Zeige, ist [mm]2^{n}[/mm] eine Primzahl, so ist [mm]n=2^{m}.[/mm]

Hier meinst du [mm] $2^n+1$, [/mm] nehme ich an.
  

> Als Hinweis haben wir bekommen: Dass wir schreiben sollen:
> [mm]2^{kl}+1= (2^{k})^{l}-(-1)^{l}[/mm] für l ungerade und wir
> sollen die geometrische Reihe verwenden.
>  Die lautet ja wie folgt:  [mm]z^{n}-w^{n}[/mm] = (z-w)
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} z^{k}w^{n-1-k} [/mm]
>  
> Dann kann man ja (von oben)
> [mm]z=2^{k}[/mm] und w= -1 einsetzen, oder.
> Das würde dann wie folgt aussehen:
>  [mm](2{k})^{l}-(-1)^{l}[/mm] = [mm](2^{k}[/mm] +1)  [mm]\summe_{i=0}^{l-1} (2^{k})^{l} (-1)^{l-1-i}[/mm]

Und hier müßte es

[mm](2^{\red{k}})^{l}-(-1)^{l}[/mm] = [mm](2^{k}[/mm] +1)  [mm]\summe_{i=0}^{l-1} (2^{k})^{\red{i}} (-1)^{l-1-i}[/mm]

heissen.

> Aber jetzt komm ich nicht mehr weiter.
>  Danke für eure Hilfe.
>  
> Noch ein Hinweis, den wir bekommen haben: Wir sollen die
> Kontraposition zeigen, also : Wenn kein m aus  [mm]\IN_{0}[/mm]
> existiert, so dass n= [mm]2^{m},[/mm] dann ist [mm]2^{n}[/mm] +1 keine
> Primzahl.

Meiner Meinung nach steht schon alles da, was du für den Beweis benötigst, du musst es nur noch richtig zusammensetzen.

Also, angenommen, es gibt keine natürliche Zahl m, so dass [mm] $n=2^m$. [/mm]
Dann muss die Primfaktorzerlegung von n mindestens einen ungeraden Faktor enthalten, also n=k*l mit l ungerade und l>1.
Dann ist es aber --wie oben vorgemacht-- möglich, [mm] $2^n+1$ [/mm] vermöge der geometrischen Reihe als Produkt zweier Zahlen zu schreiben, was aber bedeutet, dass [mm] $2^n+1$ [/mm] keine Primzahl ist. Widerspruch.

Das einzige, was jetzt noch etwas besser begründet werden müßte, ist, warum die beiden Faktoren [mm] $(2^{k} [/mm] +1)$ und [mm] $\summe_{i=0}^{l-1} (2^{k})^{i} (-1)^{l-1-i}$ [/mm] nicht 1 sind, aber diese Begründung dürfte nicht schwierig sein.

Viele Grüße,
Marc





Bezug
                
Bezug
Fermatsche Primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 Fr 19.11.2004
Autor: Nette

Hi!

Ja ich hab mich da ein paarmal verschrieben.

Danke für die Antwort.

Gruß
Annette

Bezug
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