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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:10 Fr 14.12.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Es sei [mm] F_k =2^{2^k} [/mm] +1 die k-te Fermatzahl mit k ≥ 2.
(a)Zeige:
Falls [mm] F_k [/mm] eine Fermatsche Primzahl ist, gilt [mm] F_k [/mm] = [mm] 2^{k+2}\cdot [/mm] a + 1
mit einem a ∈ N.
(b) Falls [mm] F_k [/mm] zusammengesetzt ist, la ̈sst sich jeder Primfaktor p von [mm] F_k [/mm] in der Darstellung von
Teilaufgabe a) schreiben. |
Hallo zusammen,
könnt ihr mir eventuell einen Ansatz zur (a) geben? Ich habe versucht, die gegebene Gleichung zu verwenden und umzustellen, komme aber nicht so recht weiter....
[mm] F_k =2^{2^k} [/mm] +1 = [mm] 2^{2k} [/mm] + 1 = [mm] 2^{k+k} [/mm] + 1 = [mm] 2^{(k-2)+(k+2)} [/mm] + 1 = [mm] 2^{k-2}\cdot 2^{k+2} [/mm] + 1
Dementsprechend wäre [mm] a=2^{k-2} [/mm] und das müsste somit immer natürlich sein...aber wie mach ich den Beweis?
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Hallo MattiJo,
da hast Du in der Aufgabenstellung (a) etwas falsch verstanden.
> Es sei [mm]F_k =2^{2^k}[/mm] +1 die k-te Fermatzahl mit k ≥ 2.
> (a)Zeige:
> Falls [mm]F_k[/mm] eine Fermatsche Primzahl ist, gilt [mm]F_k[/mm] =
> [mm]2^{k+2}\cdot[/mm] a + 1
> mit einem a ∈ N.
>
> (b) Falls [mm]F_k[/mm] zusammengesetzt ist, la ̈sst sich jeder
> Primfaktor p von [mm]F_k[/mm] in der Darstellung von
> Teilaufgabe a) schreiben.
> Hallo zusammen,
>
> könnt ihr mir eventuell einen Ansatz zur (a) geben? Ich
> habe versucht, die gegebene Gleichung zu verwenden und
> umzustellen, komme aber nicht so recht weiter....
>
> [mm]F_k =2^{2^k}[/mm] +1 = [mm]2^{2k}[/mm] + 1
Das stimmt doch schon nicht (außer für k=2)!
> = [mm]2^{k+k}[/mm] + 1 =
> [mm]2^{(k-2)+(k+2)}[/mm] + 1 = [mm]2^{k-2}\cdot 2^{k+2}[/mm] + 1
>
> Dementsprechend wäre [mm]a=2^{k-2}[/mm]
Nein.
> und das müsste somit immer
> natürlich sein...aber wie mach ich den Beweis?
Hier ist eigentlich nichts zu beweisen:
[mm] F_k=2^{2^k}+1=2^{k+2}*2^{2^k-k-2}+1
[/mm]
Das gilt für [mm] k\ge{3}. [/mm] Dabei ist [mm] a=2^{2^k-k-2}.
[/mm]
Beim Aufgabenteil (b) scheint sich ein Widerspruchsbeweis anzubieten, aber ich sehe noch nicht, wie der aussehen könnte.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 So 16.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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