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| Aufgabe | Feynman-Kac-I
Die PDE
[mm] \begin{Bmatrix}
\frac{\partial F}{\partial t}(t,x)+\mu(t,x)\cdot \frac{\partial F}{\partial x}(t,x) +\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t,x)=0& \\
F(T,x)=\Phi(x) &
\end{Bmatrix}
[/mm]
besitze die Lösungsfunktion F(t,x). Es sei [mm] (X_t)_{t\geq 0} [/mm] eine Lösung der SDE
[mm] \begin{Bmatrix}
dX_s=\mu(s,X_s)ds+\sigma(s,X_s)dWs&\\
X_t=x&
\end{Bmatrix}\Longleftrightarrow \begin{matrix}X_T=x+\int_t^T\mu(s,X_s)ds+\int_t^T \sigma(s, X_s)dWS&\\ (Semimartingal!) &\end{matrix}
[/mm]
und der Prozess [mm] (Y_s)_{y\in[t,T]} [/mm] mit [mm] Y_s=\sigma(s,X_s)\cdot \frac{\partial F}{\partial x} (s,X_s) [/mm] erfülle die Bedingungen der Definition 3.18 (diese sind: [mm] (Y_s)_{s\in[t,T]} [/mm] ist [mm] F_s^W-adaptiert [/mm] für alle [mm] s\in[t,T], \int E(Y_s^2)ds<\infty). [/mm] Dann können wir F(t,x) wie folgt berechnen:
[mm] F(t,x)=E(\Phi(X_t)|X_t=x)
[/mm]
Beispiel: Es sei [mm] \mu(t,x)=0, \sigma(t,x)=\sigma, \Phi(x)=x^2. [/mm] |
Hallo zusammen!
Welche Voraussetzungen muss ich konkret überprüfen, dass ich den obigen Satz anwenden kann:
Existenz einer Lösung:
1. [mm] ||\mu(t,x)-\mu(t,y)||\leq K\cdot [/mm] ||x-y||
also [mm] |0-0|=0\leq [/mm] K mit [mm] K\geq [/mm] 0
2. [mm] ||\sigma(t,x)-\sigma(t,y)||\leq K\cdot [/mm] ||x-y||
also [mm] |\sigma-\sigma|=0\leq [/mm] K mit [mm] K\geq [/mm] 0
3. [mm] ||\mu(t,x)||+||\sigma(t,x)||\leq K\cdot [/mm] (1+||x||)
also [mm] |0|+|\sigma|\leq [/mm] K+K|x| mit [mm] K\geq |\sigma|
[/mm]
somit existiert eine eindeutige Lösung.
Reicht das?
Der Rechenweg des obigen Beispiels ist mir klar (hier nicht ausgeführt), als Lösung erhalte ich
[mm] F(t,x)=\sigma^2 (T-t)+x^2.
[/mm]
Vielen Vielen Dank!
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| Aufgabe | | Löse die PDE [mm] \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=0, F(T,x)e^x. [/mm] |
Hallo zusammen!
Im Folgenden bezeichne ich [mm] \frac{\partial F}{\partial t}=F_t,...
[/mm]
Folgendes habe ich bereits gemacht.
1. Feynmann-Kac I: [mm] F_t+\mu F_x+\frac{1}{2}\sigma^2 F_{xx}=0
[/mm]
Daraus folgt: [mm] \mu=0, \frac{1}{2}\sigma^2=1 \rightarrow \sigma=\sqrt{2}
[/mm]
3. Definiere stochastischen Prozess: [mm] dX_s=\mu ds+\sigma [/mm] DWs
Daraus folgt [mm] dX_s=\sigma [/mm] DWs
4. Integration/Semimartingal:
[mm] X_T=X_t+\sqrt{2} (W_T-W_t)
[/mm]
5. Verteilung von [mm] X_T: X_T\sim N(X_t, [/mm] 2(T-t))
6. Feynman-Kac anwenden:
[mm] F(t,x)=E(\Phi(X_T)|X_t=x)=E(e^{X_T}|X_t=x)
[/mm]
[mm] =E(e^{X_t+\sqrt{2} (W_T-W_t)}|X_t=x)
[/mm]
[mm] =E(e^{x+\sqrt{2} (W_T-W_t)})
[/mm]
[mm] =e^x\cdot E(e^{\sqrt{2} (W_T-W_t)})
[/mm]
So und jetzt weiß ich nicht weiter. Ich weiß zwar, dass [mm] W_T-W_t\sim [/mm] N(0,T-t), aber wie das dann mit der Exponentialfunktion aussieht, weiß ich nicht.
Kann mir da jemand helfen?
Weiß jemand, wo ich noch weitere Aufgaben zu Feynman-Kac finden kann? (Am besten mit Lösungen)
Vielen Dank schon in Voraus!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 23.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 23.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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