Fibonacci-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Di 22.11.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | ausgehend von FibbonacciFolge [mm] (F_n) [/mm] (definiert durch ( [mm] F_0 [/mm] =0, [mm] F_1= [/mm] 1, [mm] F_{n+1} =F_n [/mm] + [mm] F_{n-1}) [/mm] werden 2 neue Folgen definiert.
[mm] a_n [/mm] := [mm] \frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}}
[/mm]
[mm] b_n [/mm] := [mm] \frac{F_{2n+1}}{F_{2n}}
[/mm]
gebildet.
Man zeige dass [mm] ([a_{n} [/mm] , [mm] b_{n}]) [/mm] eine Intervallschachtelung ist und berechne die dadurch bestimmte reelle Zahl. |
Meine Spielerein ;)
[mm] F_0=0
[/mm]
[mm] F_1=1
[/mm]
[mm] F_2=1
[/mm]
[mm] F_3=2
[/mm]
[mm] F_4=3
[/mm]
[mm] F_5=5
[/mm]
[mm] F_6=8
[/mm]
[mm] a_n=
[/mm]
n=0 [mm] \frac{F_2}{F_1}=1
[/mm]
n=1 [mm] \frac{F_4}{F_3}=\frac{3}{2}= [/mm] 1,5
n=2 [mm] \frac{F_6}{F_5}=\frac{8}{5}=1,6
[/mm]
[mm] b_n=
[/mm]
n=0 [mm] \frac{F_1}{F_0}
[/mm]
n=1 [mm] \frac{F_3}{F_2}=\frac{2}{1}= [/mm] 2
n=2 [mm] \frac{F_5}{F_4}=\frac{5}{3}=1,6666...
[/mm]
bei n=0 würde ich durch 0 dividieren oooh??
[mm] \frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{F_n}{F_{n-1}}
[/mm]
[mm] F_{n+1}*F_{n-1}=F_n^2
[/mm]
ich setze [mm] F_{n+1} =F_n [/mm] + [mm] F_{n-1})
[/mm]
[mm] (F_n+F_{n-1})* F_{n-1} [/mm] = [mm] F_n^2
[/mm]
Freund meinte nun müsse man [mm] F_{n-1}=1 [/mm] setzten und so hätte man eine quadratische gleichung. ABer wieso 1 setzten?
Bedenken hab ich auch mit der division durch 0.
Dachte vielleicht muss man es definieren für alle n größer als 0, aber dann das erste Glied von [mm] a_n (a_1 [/mm] =1) dazuaddieren zu den linken Term
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hoffe auf Schreiben!
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> ausgehend von FibbonacciFolge [mm](F_n)[/mm] (definiert durch ( [mm]F_0[/mm]
> =0, [mm]F_1=[/mm] 1, [mm]F_{n+1} =F_n[/mm] + [mm]F_{n-1})[/mm] werden 2 neue Folgen
> definiert.
> [mm]a_n[/mm] := [mm]\frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}}[/mm]
>
> [mm]b_n[/mm] := [mm]\frac{F_{2n+1}}{F_{2n}}[/mm]
> gebildet.
> Man zeige dass [mm]([a_{n}[/mm] , [mm]b_{n}])[/mm] eine
> Intervallschachtelung ist und berechne die dadurch
> bestimmte reelle Zahl.
> Meine Spielerein ;)
> [mm]F_0=0[/mm]
> [mm]F_1=1[/mm]
> [mm]F_2=1[/mm]
> [mm]F_3=2[/mm]
> [mm]F_4=3[/mm]
> [mm]F_5=5[/mm]
> [mm]F_6=8[/mm]
>
> [mm]a_n=[/mm]
> n=0 [mm]\frac{F_2}{F_1}=1[/mm]
> n=1 [mm]\frac{F_4}{F_3}=\frac{3}{2}=[/mm] 1,5
> n=2 [mm]\frac{F_6}{F_5}=\frac{8}{5}=1,6[/mm]
>
> [mm]b_n=[/mm]
> n=0 [mm]\frac{F_1}{F_0}[/mm]
> n=1 [mm]\frac{F_3}{F_2}=\frac{2}{1}=[/mm] 2
> n=2 [mm]\frac{F_5}{F_4}=\frac{5}{3}=1,6666...[/mm]
>
> bei n=0 würde ich durch 0 dividieren oooh??
Dann ist [mm] b_0 [/mm] nicht definiert, also betrachte die Folge ab n=1. Da es eh nur um das Verhalten für [mm] n\to\infty [/mm] geht, ist das kein Problem.
>
> [mm]\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{F_n}{F_{n-1}}[/mm]
Warum das? Meinst du hier den Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] ?
>
> [mm]F_{n+1}*F_{n-1}=F_n^2[/mm]
>
> ich setze [mm]F_{n+1} =F_n[/mm] + [mm]F_{n-1})[/mm]
>
> [mm](F_n+F_{n-1})* F_{n-1}[/mm] = [mm]F_n^2[/mm]
>
> Freund meinte nun müsse man [mm]F_{n-1}=1[/mm] setzten und so
> hätte man eine quadratische gleichung. ABer wieso 1
> setzten?
Das scheint mir auch fragwürdig. Hilfreich ist die Beziehung [mm] a_n=\frac{F_{2n+1}+F_{2n}}{F_{2n+1}}=1+\frac{1}{b_n}
[/mm]
>
> Bedenken hab ich auch mit der division durch 0.
> Dachte vielleicht muss man es definieren für alle n
> größer als 0, aber dann das erste Glied von [mm]a_n (a_1[/mm] =1)
> dazuaddieren zu den linken Term
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hoffe auf Schreiben!
Und denk dran, dass du zeigen musst, dass [mm]([a_{n}[/mm] , [mm]b_{n}])[/mm] eine Intervallschachtelung ist, da sehe ich in deinen Ausführungen noch keinen ansatz zu.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Di 22.11.2011 | | Autor: | Lu- |
also stimmen die ansätze gar nicht?
Ich hab bis jetzt immer nur eine Wurzel wie [mm] \wurzel{5} [/mm] aproximiert mit intrevallschachetlung
Def.: .. ist eine Folge [mm] ([a_n,b_n]) [/mm] von abgeschlossenen Intervallen, wobei [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] monotone Folgen von rationnalen Zahlen sind, erste monoton wachsend, letztere monoton fallend.
[mm] I_{n+1} \in I_{n}
[/mm]
Weiters muss die Folge der Intervalllängen gegen 0 konvergieren.
Weißt, wir haben das eigentlich gar nicht besprochen, wir bekamen nur die aufgabe!
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> also stimmen die ansätze gar nicht?
Ein paar Folgenglieder ausrechnen, um sich erstmal ein Bild zu machen, ist nicht verkehrt.
Aber das reicht eben noch nicht.
> Ich hab bis jetzt immer nur eine Wurzel wie [mm]\wurzel{5}[/mm]
> aproximiert mit intrevallschachetlung
> Def.: .. ist eine Folge [mm]([a_n,b_n])[/mm] von abgeschlossenen
> Intervallen, wobei [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] monotone Folgen von
> rationnalen Zahlen sind, erste monoton wachsend, letztere
> monoton fallend.
> [mm]I_{n+1} \in I_{n}[/mm]
> Weiters muss die Folge der
> Intervalllängen gegen 0 konvergieren.
Genau diese drei Eigenschaften wären jetzt zu zeigen.
>
> Weißt, wir haben das eigentlich gar nicht besprochen, wir
> bekamen nur die aufgabe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Di 22.11.2011 | | Autor: | Lu- |
Vermutung
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n
[/mm]
$ [mm] \frac{F_{2n+4}}{F_{2n+3}} [/mm] $ > $ [mm] \frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}} [/mm] $
[mm] b_{n+1} [/mm] < [mm] b_{n}
[/mm]
$ [mm] \frac{F_{2n+3}}{F_{2n+2}} [/mm] $ < $ [mm] \frac{F_{2n+1}}{F_{2n}} [/mm] $
Wie rechne ich mir das aus?
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Hallo Lu-,
bevor man Vermutungen anstellt, ist es immer gut, erst einmal ein paar Folgenglieder zu berechnen!
Die ersten paar Verhältnisse von [mm] F_{n+1} [/mm] zu [mm] F_{n} [/mm] sind folgende:
[mm] 1;2;1,5;1,\bar{6};1,625;1,61538\cdots;\cdots
[/mm]
> Vermutung
> [mm]a_{n+1}[/mm] > [mm]a_n[/mm]
>
> [mm]\frac{F_{2n+4}}{F_{2n+3}}[/mm] > [mm]\frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}}[/mm]
>
> [mm]b_{n+1}[/mm] < [mm]b_{n}[/mm]
> [mm]\frac{F_{2n+3}}{F_{2n+2}}[/mm] < [mm]\frac{F_{2n+1}}{F_{2n}}[/mm]
Deine Vermutung stimmt nicht. Kannst Du sie verbessern?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Lu- |
Ich machs anders:
Monotonie von [mm] a_n
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = <0 fallend
> 0 wachsend
[mm] =\frac{ F_{2(n+1)+2}}{F_{2(n+1)+1}} [/mm] - [mm] \frac {F_{2n+2}}{F_{2n-1}} [/mm] = [mm] \frac{F_{2n+4}}{F_{2n+3}} [/mm] - [mm] \frac {F_{2n+2}}{F_{2n-1}}
[/mm]
jetzt nutze ich
[mm] F_{n+1} [/mm] = [mm] F_n [/mm] + [mm] F_{n-1}
[/mm]
= [mm] \frac{F_{2n+3} + F_{2n+2}}{F_{2n+2}+F_{2n+1}} [/mm] - [mm] \frac {F_{2n+2}}{F_{2n-1}}
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht sicher wie ich weggürzen darf!
[mm] \frac{F_{2n+3}}{F_{2n+2}+F_{2n+1}} [/mm] darf ich dass als eins sehen?, nein oder?wenn ja warum und wenn nein warum nicht ;( Ich bin mir nicht sicher ob ich da Rechenregeln verletze.
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>
> Jetzt bin ich mir nicht sicher wie ich weggürzen darf!
> [mm]\frac{F_{2n+3}}{F_{2n+2}+F_{2n+1}}[/mm] [mm]\green{=\frac{F_{2n+3}}{F_{2n+3}}=1}[/mm]
> darf ich dass als eins sehen?
Ja.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Lu- |
ah gut, danke
Gut danke!
$ [mm] a_{n+1} [/mm] $ - $ [mm] a_n [/mm] $
$ [mm] =\frac{ F_{2(n+1)+2}}{F_{2(n+1)+1}} [/mm] $ - $ [mm] \frac {F_{2n+2}}{F_{2n-1}} [/mm] $ = $ [mm] \frac{F_{2n+4}}{F_{2n+3}} [/mm] $ - $ [mm] \frac {F_{2n+2}}{F_{2n-1}} [/mm] $
= $ [mm] \frac{F_{2n+3} + F_{2n+2}}{F_{2n+2}+F_{2n+1}} [/mm] $ - $ [mm] \frac {F_{2n+2}}{F_{2n-1}} [/mm] $
= 1+ [mm] \frac{F_{2n+2}}{F_{2n+2}+F_{2n+1}} [/mm] - [mm] \frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}}
[/mm]
= 1+ [mm] \frac {F_{2n+2} F_{2n+1} - F_{2n+2} F_{2n+2} - F_{2n+2}F_{2n+1}}{F_{2n+1} F_{2n+3}}
[/mm]
wegkürzen und 1 in bruch nehmen
= [mm] \frac{F_{2n+1} F_{2n+3} - (F_{2n+2})^2} {F_{2n+1} F_{2n+3}}
[/mm]
da hänge ich schon wieder ;(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
> ah gut, danke
> Gut danke!
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm]
>
> [mm]=\frac{ F_{2(n+1)+2}}{F_{2(n+1)+1}}[/mm] - [mm]\frac {F_{2n+2}}{F_{2n-1}}[/mm]
> = [mm]\frac{F_{2n+4}}{F_{2n+3}}[/mm] - [mm]\frac {F_{2n+2}}{F_{2n-1}}[/mm]
>
> = [mm]\frac{F_{2n+3} + F_{2n+2}}{F_{2n+2}+F_{2n+1}}[/mm] - [mm]\frac {F_{2n+2}}{F_{2n-1}}[/mm]
>
>
> = 1+ [mm]\frac{F_{2n+2}}{F_{2n+2}+F_{2n+1}}[/mm] -
> [mm]\frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}}[/mm]
>
> = 1+ [mm]\frac {F_{2n+2} F_{2n+1} - F_{2n+2} F_{2n+2} - F_{2n+2}F_{2n+1}}{F_{2n+1} F_{2n+3}}[/mm]
>
> wegkürzen und 1 in bruch nehmen
>
> = [mm]\frac{F_{2n+1} F_{2n+3} - (F_{2n+2})^2} {F_{2n+1} F_{2n+3}}[/mm]
>
> da hänge ich schon wieder ;(
Hallo,
der letztgenannte Term kann als Differenz von zwei Brüchen geschrieben werden, wobei der erste Bruch genau 1 ist.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Lu- |
verstehe nicht genau auf was du hinauswillst! Warum sollte ich 1 wieder aus dem Bruch herrausziehen, hab ihn ja extra in den Bruch hineingetan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
> verstehe nicht genau auf was du hinauswillst! Warum sollte
> ich 1 wieder aus dem Bruch herrausziehen, hab ihn ja extra
> in den Bruch hineingetan.
Du hast recht.
Den Nenner deines Gesamtbruchs musst du nicht mehr betrachten - der ist positiv. Vom Zähler ist zu zeigen, dass er negativ wird.
Lohnt es eventuell, jetzt [mm]F_{2n+3}[/mm] als Summe von [mm]F_{2n+1}[/mm] und [mm]F_{2n+2}[/mm] darzustellen?
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Lu- |
mhm.
Ich hab ein bisschen im Internet gesurft und habe einen Satz
endeckt, der mir hilft!
Satz von Cassini
[mm] F_{n+1} F_{n-1}-(F_n)^2 [/mm] = [mm] (-1)^n
[/mm]
das wäre dann bei mir (durch vollständige Induktion .. komme ich schlussendlich auf [mm] -(-1)^n [/mm] = [mm] (-1)^{n+1})
[/mm]
= 1/ [mm] F_{2n+1}F_{n+3} [/mm] >0
Weiter:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}} [/mm] = 1 + [mm] \frac{F_{2n}}{F_{2n+1}}= [/mm] 1 + [mm] 1/b_n
[/mm]
Monotonie von [mm] b_n
[/mm]
[mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{a_{n+1}-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{a_n-1} [/mm] = [mm] \frac{a_n-1-a_{n+1}+1}{(a_{n+1}-1)* (a_n-1)} [/mm]
+1,-1 lässt sich wegstreichen,
beide Terme des Bruches müssen > 0 sein, wenn ich mich nicht irre, da [mm] a_n [/mm] immer größer als 1 ist.
bleibt übrig
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] <0
da wir es umgekehrt schon oben bewiesen haben
=> [mm] a_n [/mm] ist monoton steigend
=> [mm] b_n [/mm] ist monoton fallend
[mm] lim(a_n-b_n)
[/mm]
n -> [mm] \infty
[/mm]
lim [mm] b_n [/mm] = 0
n-> [mm] \infty
[/mm]
lim [mm] a_n= [/mm] lim ( 1 + [mm] 1/b_n) [/mm] =
n-> [mm] \infty
[/mm]
Da habe ich probleme und komme nicht klar!
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> mhm.
> Ich hab ein bisschen im Internet gesurft und habe einen
> Satz
> endeckt, der mir hilft!
>
> Satz von Cassini
> [mm]F_{n+1} F_{n-1}-(F_n)^2[/mm] = [mm](-1)^n[/mm]
>
> das wäre dann bei mir (durch vollständige Induktion ..
> komme ich schlussendlich auf [mm]-(-1)^n[/mm] = [mm](-1)^{n+1})[/mm]
> = 1/ [mm]F_{2n+1}F_{n+3}[/mm] >0
>
>
> Weiter:
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}}[/mm] = 1 +
> [mm]\frac{F_{2n}}{F_{2n+1}}=[/mm] 1 + [mm]1/b_n[/mm]
>
> Monotonie von [mm]b_n[/mm]
> [mm]b_{n+1}[/mm] - [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{1}{a_{n+1}-1}[/mm] - [mm]\frac{1}{a_n-1}[/mm] =
> [mm]\frac{a_n-1-a_{n+1}+1}{(a_{n+1}-1)* (a_n-1)}[/mm]
>
> +1,-1 lässt sich wegstreichen,
> beide Terme des Bruches müssen > 0 sein, wenn ich mich
> nicht irre, da [mm]a_n[/mm] immer größer als 1 ist.
>
> bleibt übrig
> [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] <0
> da wir es umgekehrt schon oben bewiesen haben
>
> => [mm]a_n[/mm] ist monoton steigend
> => [mm]b_n[/mm] ist monoton fallend
>
> [mm]lim(a_n-b_n)[/mm]
> n -> [mm]\infty[/mm]
> lim [mm]b_n[/mm] = 0
???
Für alle n ist beispielsweise [mm] b_n\ge a_n\ge a_1=1,5, [/mm] also muss auch [mm] \lim b_n\ge [/mm] 1,5 gelten.
> n-> [mm]\infty[/mm]
> lim [mm]a_n=[/mm] lim ( 1 + [mm]1/b_n)[/mm] =
> n-> [mm]\infty[/mm]
>
> Da habe ich probleme und komme nicht klar!
>
>
Man könnte wie folgt argumentieren (für [mm] $n\ge [/mm] 1$):
[mm] $b_{n+1}-a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}-(1+\frac{1}{b_{n+1}})=\frac{1}{a_n*b_{n+1}}*(b_{n+1}-a_n)\le\frac{1}{2}(b_n-a_n)$
[/mm]
Die letzte Ungleichung folgt aus [mm] $b_{n+1}\ge a_{n+1}\ge a_n\ge a_1=1,5\Rightarrow\frac{1}{a_n*b_{n+1}}\le\frac{1}{2}$
[/mm]
sowie [mm] $b_{n+1}\le b_n$. [/mm]
Induktiv erhältst du daraus [mm] $b_n-a_n\le 2^{-(n-1)}*(b_1-a_1)$
[/mm]
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 27.11.2011 | | Autor: | Lu- |
wie kommst du dann aber auf 0 für den limes?
Kollegen meinte es käme irgendwie auf den goldenen schnitt raus?
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> wie kommst du dann aber auf 0 für den limes?
Ich? Ich habe geschrieben, dass Grenzwert 0 nicht sein kann.
> Kollegen meinte es käme irgendwie auf den goldenen
> schnitt raus?
Da hat er/sie recht.
Der Grenzwert muss die Gleichung a=1+1/a erfüllen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 27.11.2011 | | Autor: | Lu- |
sry war grade verwirrt..
Habe für den Limes kurze Musterlösung von Kollegen zugeschickt bekommen
lim ( [mm] b_n) [/mm] = [mm] \Phi
[/mm]
n-> [mm] \infty
[/mm]
[mm] b_1 [/mm] ist obere Schranke wegen Monotonie fallend, [mm] b_n [/mm] >0 -> [mm] b_n [/mm] konvergiert
[mm] a_n [/mm] nach oben beschränkt
lim [mm] a_n [/mm] = lim ( 1 + [mm] 1/b_n) [/mm] = 1 + 1/ [mm] \Phi [/mm] = [mm] \Phi
[/mm]
n-> [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Phi [/mm] + 1 - [mm] \Phi^2 [/mm] =0
Kannst du mir erklären, wie sie darauf kommen dass [mm] b_n [/mm] gegen Phi konvergiert?
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> sry war grade verwirrt..
> Habe für den Limes kurze Musterlösung von Kollegen
> zugeschickt bekommen
>
> lim ( [mm]b_n)[/mm] = [mm]\Phi[/mm]
> n-> [mm]\infty[/mm]
> [mm]b_1[/mm] ist obere Schranke wegen Monotonie fallend, [mm]b_n[/mm] >0 ->
> [mm]b_n[/mm] konvergiert
> [mm]a_n[/mm] nach oben beschränkt
> lim [mm]a_n[/mm] = lim ( 1 + [mm]1/b_n)[/mm] = 1 + 1/ [mm]\Phi[/mm] = [mm]\Phi[/mm]
> n-> [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]\Phi[/mm] + 1 - [mm]\Phi^2[/mm] =0
> Kannst du mir erklären, wie sie darauf kommen dass [mm]b_n[/mm]
> gegen Phi konvergiert?
Aus [mm] |a_n-b_n|\to [/mm] 0 folgt [mm] \lim b_n=\lim a_n
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 27.11.2011 | | Autor: | Lu- |
Ja klar, dumm von mir.
Eine Frage hätte ich noch, ich hoffe dass ist okay.
Ich verstehe noch nicht ganz warum der lim [mm] |a_n [/mm] - [mm] b_n| [/mm] =0 ist
wie hast du das jetzt gezeigt? War das in deinen letzten Post schon die antwort darauf, weil da hab ich nicht ganz verstanden!..
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> Ja klar, dumm von mir.
> Eine Frage hätte ich noch, ich hoffe dass ist okay.
> Ich verstehe noch nicht ganz warum der lim [mm]|a_n[/mm] - [mm]b_n|[/mm] =0
> ist
> wie hast du das jetzt gezeigt? War das in deinen letzten
> Post schon die antwort darauf, weil da hab ich nicht ganz
> verstanden!..
das ist jetzt nicht mehr der letzte post, das war die Abschätzung
[mm] $|b_{n+1}-a_{n+1}|\le\frac{1}{2}|b_n-a_n|\le...\le\frac{1}{2^n}|b_1-a_1|\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
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