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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Lisa12 |
| Aufgabe | | [mm] A_{n}=\bruch{1}{3}[2^{n+1}+(-1)^{n}] [/mm] |
Hallo, ich hab oben genanntes gegeben! Soll nun [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] bestimmen sowie eine Formel für [mm] A_{n} [/mm] für n>=3 als Funktion von [mm] A_{n-1} [/mm] und [mm] A_{n-2} [/mm] finden! So ich habe:
[mm] A_{1} [/mm] = 1 und [mm] A_{2}= [/mm] 3
mit weiterem ausprobieren habe ich dann:
[mm] A_{n} [/mm] = [mm] A_{n-1} [/mm] + 2 * [mm] A_{n-2} [/mm]
stimmt as so weit?
Jetzt soll ich das mit starker vollständiger Induktion prüfen!
Mein Ansatz:
[mm] A_{n+1}=A_{n} [/mm] + 2 * [mm] A_{n-1} [/mm]
Meine Frage ist ob das soweit richtig ist?!
Wenn ich das dann fortführe bleibe ich bei
[mm] \bruch{1}{3}*2^{n+1}+2*2^{n}+\bruch{1}{3}*(-1)^{n}+2*(-1)^{n-1} [/mm] hängen!
:-((
über hilfe würde ich mich sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Mi 07.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A_{n}=\bruch{1}{3}[2^{n+1}+(-1)^{n}][/mm]
> Hallo, ich hab oben genanntes gegeben! Soll nun [mm]A_{1}[/mm] und
> [mm]A_{2}[/mm] bestimmen sowie eine Formel für [mm]A_{n}[/mm] für n>=3 als
> Funktion von [mm]A_{n-1}[/mm] und [mm]A_{n-2}[/mm] finden! So ich habe:
> [mm]A_{1}[/mm] = 1 und [mm]A_{2}=[/mm] 3
> mit weiterem ausprobieren habe ich dann:
> [mm]A_{n}[/mm] = [mm]A_{n-1}[/mm] + 2 * [mm]A_{n-2}[/mm]
> stimmt as so weit?
Ja
> Jetzt soll ich das mit starker vollständiger Induktion
.... stark ... was ist das denn ?
> prüfen!
> Mein Ansatz:
> [mm]A_{n+1}=A_{n}[/mm] + 2 * [mm]A_{n-1}[/mm]
>
> Meine Frage ist ob das soweit richtig ist?!
>
> Wenn ich das dann fortführe bleibe ich bei
>
> [mm]\bruch{1}{3}*2^{n+1}+2*2^{n}+\bruch{1}{3}*(-1)^{n}+2*(-1)^{n-1}[/mm]
> hängen!
Den 2. und den letzten Summanden solltst Du noch durch 3 teilen !
FRED
P.S: was hat Fibonacci hier zu suchen ?
> :-((
> über hilfe würde ich mich sehr freuen!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Lisa12 |
dann hab ich
= [mm] \bruch{1}{3}*2^{n+1}+\bruch{2}{3}*2^{n}+\bruch{1}{3}*(-1)^{n}+\bruch{2}{3}*(-1)^{n-1}
[/mm]
... eigentlich muss ich ja am Ende auf
[mm] \bruch{1}{3}*[2^{n+1}+(-1)^{n+1}] [/mm] kommen oder?
Aber wie kriege ich das dann umgeformt!
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Hallo Lisa,
> dann hab ich
> = [mm]\bruch{1}{3}*2^{n+1}+\bruch{2}{3}*2^{n}+\bruch{1}{3}*(-1)^{n}+\bruch{2}{3}*(-1)^{n-1}[/mm]
Das sieht besser aus.
> ... eigentlich muss ich ja am Ende auf
> [mm]\bruch{1}{3}*[2^{n+1}+(-1)^{n+1}][/mm] kommen oder?
Nee, auf [mm] \bruch{1}{3}(2^{\blue{n+2}}+(-1)^{n+1})
[/mm]
> Aber wie kriege ich das dann umgeformt!
Ausklammern und zusammenfassen:
[mm] \cdots=\bruch{1}{3}(2^{n+1}+2*2^n+(-1)^n+2*(-1)^{n-1})=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}(2^{n+1}+2^{n+1}+(-1)^{n-1}*(-1+2))=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}(2^{n+2}+(-1)^{n-1})
[/mm]
Das ist ja schon fast das gewünschte Ergebnis. Nur der Exponent an der (-1) stimmt nicht. Da multiplizieren wir mal noch eine 1 dran, wobei hier [mm] 1=(-1)^2 [/mm] weiterhilft:
[mm] =\bruch{1}{3}(2^{n+2}+(-1)^{n-1}*(-1)^2)=\bruch{1}{3}(2^{n+2}+(-1)^{n+1})
[/mm]
...und da wollten wir ja hin.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Lisa12 |
VIELEN DANK!
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