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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 11.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
| Aufgabe | Zeigen Sie nun folgende Formel mit Hilfe der vollständigen Induktion (Fibonacci Reihe):
[mm] a_{n+m} [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] * [mm] a_m [/mm] + [mm] a_n [/mm] * [mm] a_{m+1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle m [mm] \in \IN_0 [/mm] |
Hallo,
In obiger AUfgabe geht es um die Beweisführung der Formel, mit der man eine Fibonacci-Zahl ausrechnen kann (ich glaube sie heißt: Fibonacci-Additionsformel)
ich habe folgende Probleme mit obiger Aufgabe:
a) Nach welcher Variablen muss man hier induzieren? Laut Aufgabenstellung ja eigentlich nach beiden, oder? Wenn ja wie läuft dann eine "doppelte" Induktion.
b) Wenn ich die Behauptung etc. für n aufstelle, habe ich das Problem, dass man mit den Indexes nicht rechnen kann, oder?
Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben? Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Zeigen Sie nun folgende Formel mit Hilfe der vollständigen
> Induktion (Fibonacci Reihe):
> [mm]a_{n+m}[/mm] = [mm]a_{n-1}[/mm] * [mm]a_m[/mm] + [mm]a_n[/mm] * [mm]a_{m+1}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> und alle m [mm]\in \IN_0[/mm]
> Hallo,
>
> In obiger AUfgabe geht es um die Beweisführung der Formel,
> mit der man eine Fibonacci-Zahl ausrechnen kann (ich glaube
> sie heißt: Fibonacci-Additionsformel)
> ich habe folgende Probleme mit obiger Aufgabe:
> a) Nach welcher Variablen muss man hier induzieren? Laut
> Aufgabenstellung ja eigentlich nach beiden, oder? Wenn ja
> wie läuft dann eine "doppelte" Induktion.
> b) Wenn ich die Behauptung etc. für n aufstelle, habe ich
> das Problem, dass man mit den Indexes nicht rechnen kann,
> oder?
>
fuer mehrfache induktion gibt es meines wissens nach kein starres schema, das richtet sich nach der aufgabe. In diesem fall wuerde ich so vorgehen: fuehre eine 'aeussere' induktion (zb. in $m$) und dann eine innere in $n$. dh. du beweist zunaechst die aussage fuer $m=0$ und $m=1$. das ist die induktionsverankerung und fuer diese brauchst du wiederum eine induktion in $n$! dann wie gewohnt der induktionsschritt m->m+1.
habe mir das jetzt nicht genauer ueberlegt, sollte aber so gehen.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mo 12.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
Guten Morgen,
folgendes Problem: ich habe jetzt für m=0 eingesetzt. Funktioniert!
Was muss ich dann machen? Für n etwas einsetzen oder direkt weiter zur Induktionsbehauptung?
Gruß
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Hi,
> Guten Morgen,
>
> folgendes Problem: ich habe jetzt für m=0 eingesetzt.
> Funktioniert!
> Was muss ich dann machen? Für n etwas einsetzen oder direkt
> weiter zur Induktionsbehauptung?
>
> Gruß
Wenn du die verankerung fuer $m=0$ gezeigt hast, wuerde ich dann den schritt von m auf m+1 versuchen. z.z.
[mm] $a_{n+(m+1)}=a_{n-1}a_{m+1}+a_n a_{m+2}$
[/mm]
andererseits ist aber
[mm] $a_{n+(m+1)}=a_{(n+1)+m}=a_n a_m+a_{n-1}a_{m+1}$
[/mm]
nach Ind.-Vor.. Wenn du jetzt zeigst, dass die beiden rechten seiten der gleichungen gleich sind, bist du denke ich schon fertig (ist nicht so schwer).
gruss
matthias
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