Fibonacci Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 So 13.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Beweise folgende Aussagen:
$a) [mm] \sum_{k=0}^{n}f_{k}=f_{n+2}-1$
[/mm]
$b) [mm] \sum_{k=0}^{n}f_{2k+1}=f_{2n+2}$
[/mm]
$c) [mm] f^{2}_{n+1}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n}$ [/mm] |
Hallo,
a)
Induktionsvoraussetzung: $ [mm] \sum_{k=0}^{n}f_{k}=f_{n+2}-1$
[/mm]
Induktionsanfang: mit n=1: [mm] f_{0}+1=2-1
[/mm]
Induktionsschritt [mm] n\rightarrow [/mm] n+1:
[mm] $\sum_{k=0}^{n+1}f_{k}=\sum_{k=0}^{n}f_{k}+f_{n+1}=f_{n+2}-1+f_{n+1}=f_{n+3}-1=f_{(n+1)+2}-1$
[/mm]
b)
IV: [mm] $\sum_{k=0}^{n}f_{2k+1}=f_{2n+2}$
[/mm]
IA: [mm] $n=1$:f_{1}+f_{3}=f_{4}$
[/mm]
IS [mm] $n\rightarrow [/mm] n+1$:
[mm] $\sum_{k=0}^{n+1}f_{2k+1}=\sum_{k=0}^{n}f_{2k+1}+f_{2n+3}=f_{2n+2}+f_{2n+3}=f_{2n+4}=f_{2(n+1)+2}$
[/mm]
c)
IV: $ [mm] f^{2}_{n+1}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n}$ [/mm]
IA: $n=0$: $1=1$
IS:
[mm] $f^{2}_{(n+1)+1)}=(f_{n+1}+f_{n})^{2}=f^{2}_{n+1}+2f_{n}f_{n+1}+f^{2}_{n}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n}+2f_{n}f_{n+1}+f_{n}^{2}$
[/mm]
hier stecke ich fest.
Stimmen a,b und wie komme ich bei c weiteR?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
Guten Abend,
> Beweise folgende Aussagen:
>
> [mm]a) \sum_{k=0}^{n}f_{k}=f_{n+2}-1[/mm]
>
> [mm]b) \sum_{k=0}^{n}f_{2k+1}=f_{2n+2}[/mm]
>
> [mm]c) f^{2}_{n+1}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n}[/mm]
> Hallo,
>
>
> a)
>
> Induktionsvoraussetzung: [mm]\sum_{k=0}^{n}f_{k}=f_{n+2}-1[/mm]
>
> Induktionsanfang: mit n=1: [mm]f_{0}+1=2-1[/mm]
>
> Induktionsschritt [mm]n\rightarrow[/mm] n+1:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1}f_{k}=\sum_{k=0}^{n}f_{k}+f_{n+1}=f_{n+2}-1+f_{n+1}=f_{n+3}-1=f_{(n+1)+2}-1[/mm]
>
Ok.
> b)
> IV: [mm]\sum_{k=0}^{n}f_{2k+1}=f_{2n+2}[/mm]
>
> IA: [mm]$n=1$:f_{1}+f_{3}=f_{4}$[/mm]
>
> IS [mm]n\rightarrow n+1[/mm]:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1}f_{2k+1}=\sum_{k=0}^{n}f_{2k+1}+f_{2n+3}=f_{2n+2}+f_{2n+3}=f_{2n+4}=f_{2(n+1)+2}[/mm]
>
Ok.
> c)
Da ich aufgrund deiner ersten beiden Beweise davon ausgehe, das bei dir f(0)=0, f(1)=1 die Startwerte sind:
Sollte die Behauptung für c nicht eher lauten [mm] $f^{2}_{n+1}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n+1}$?
[/mm]
> IV: [mm]f^{2}_{n+1}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n}[/mm]
> IA: [mm]n=0[/mm]: [mm]1=1[/mm]
>
> IS:
>
> [mm]f^{2}_{(n+1)+1)}=(f_{n+1}+f_{n})^{2}=f^{2}_{n+1}+2f_{n}f_{n+1}+f^{2}_{n}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n}+2f_{n}f_{n+1}+f_{n}^{2}[/mm]
>
> hier stecke ich fest.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 13.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
>Ok.
Danke für die Korrektur.
> Da ich aufgrund deiner ersten beiden Beweise davon ausgehe, das bei dir > > > f(0)=0, f(1)=1 die Startwerte sind:
> Sollte die Behauptung für c nicht eher lauten
Ich hab's nochmal nachgeschaut. So wie in meinem ersten Post [mm] ($f^{2}_{n+1}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n}$) [/mm] steht es auf dem Aufgabenblatt.
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
> Hallo kamaleonti,
>
>
> >Ok.
>
> Danke für die Korrektur.
>
> > Da ich aufgrund deiner ersten beiden Beweise davon ausgehe,
> das bei dir > > > f(0)=0, f(1)=1 die Startwerte sind:
> > Sollte die Behauptung für c nicht eher lauten
>
> Ich hab's nochmal nachgeschaut. So wie in meinem ersten
> Post ([mm]f^{2}_{n+1}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) steht es auf dem Aufgabenblatt.
Ohja, da hatte ich wohl nen Zahlendreher. Dann will ich jetzt wenigstens probieren, dir vernünftig zu helfen 
> IV: $ f^{2}_{n+1}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n} $
> IA: $ n=0 $: $ 1=1 $
>
> IS:
>
> $ f^{2}_{(n+1)+1)}=(f_{n+1}+f_{n})^{2}=f^{2}_{n+1}+2f_{n}f_{n+1}+f^{2}_{n}=f_{n}f_{n+2}+(-1)^{n}+2f_{n}f_{n+1}+f_{n}^{2} $
Es ist ungünstig, dass du am Anfang gleich das ganze Quadrat ersetzt.
Ich habe meine Induktion jetzt etwas anders gestaltet, ich beginn mal bei der
IV: $f^{2}_{n+1}-f_{n}f_{n+2}=(-1)^{n}$ (Behauptung umgestellt)
IB: $f^{2}_{n+2}-f_{n+1}f_{n+3}=(-1)^{n+1}$
IS:
$f^{2}_{n+2}-f_{n+1}f_{n+3}=f_{n+2}(f_n+f_{n+1}})-f_{n+1}(f_{n+2}+f_{n+1})$=$f_{n+1}f_{n+2}+f_nf_{n+2}-f_{n+1}^2-f_{n+1}f_{n+2}=f_{n}f_{n+2}-f_{n+1}^2$=$-(-1)^n=(-1)^{n+1}$
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 So 13.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
>> Es ist ungünstig, dass du am Anfang gleich das ganze Quadrat ersetzt.
>> Ich habe meine Induktion jetzt etwas anders gestaltet, ich beginn mal bei der
Danke für deine Lösung!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
