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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:48 Fr 11.11.2011 | | Autor: | robinschmuhu |
| Aufgabe | Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch
[mm] a_{0}:= [/mm] 1 , [mm] a_{1} [/mm] := 1, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}+a_{n-1} [/mm] fuer n [mm] \geq [/mm] 1
fuer alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] a_{n}= \bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}}{\wurzel{5}}
[/mm]
Beweisen sie durch Induktion |
So an sich ist das ganze ja Wirklich simpel und wie die Induktion aussehen muss steht ja quasi schon da:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] a_{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}}{\wurzel{5}} [/mm] + [mm] \bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}}{\wurzel{5}}
[/mm]
nun komme ich hier bei der der Schlichten Umformung in den Term:
[mm] a_{n}= \bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+2} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+2}}{\wurzel{5}}
[/mm]
nicht weiter. Ich habe schon alle Potenzrechengesetze ausprobiert aber nix hat mir geholfen. Wenn ihr mir nen Tipp geben koenntet waere echt super.
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Hallo robinschmuhu,
> Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert
> durch
>
> [mm]a_{0}:=[/mm] 1 , [mm]a_{1}[/mm] := 1, [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}+a_{n-1}[/mm] fuer n [mm]\geq[/mm]
> 1
>
> fuer alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]a_{n}= \bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> Beweisen sie durch Induktion
> So an sich ist das ganze ja Wirklich simpel und wie die
> Induktion aussehen muss steht ja quasi schon da:
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] + [mm]a_{n-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}}{\wurzel{5}}[/mm]
> + [mm]\bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> nun komme ich hier bei der der Schlichten Umformung in den
> Term:
>
> [mm]a_{n}= \bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+2} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+2}}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> nicht weiter. Ich habe schon alle Potenzrechengesetze
> ausprobiert aber nix hat mir geholfen. Wenn ihr mir nen
> Tipp geben koenntet waere echt super.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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Ich hab halt versucht das irgendwie auf ne kompakte schreibweise zu bringen wo ich dann evtl erweitern kann oder sowas hab aber nix entsprechendes gefunden:
[mm] \bruch{(\bruch{1+\wurzel5}{2})^{n}(1+(\bruch{1+\wurzel5}{2}) - (\bruch{1-\wurzel5}{2})^{n}(1+(\bruch{1-\wurzel5}{2})}{\wurzel{5}}
[/mm]
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Hallo Robin,
berechne doch mal folgendes. Dann geht Dir bestimmt ein Licht auf:
[mm] \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^2-1=\text{?}
[/mm]
und [mm] \left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^2-1=\text{?}
[/mm]
Grüße
reverend
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Mhm, leider nein Reverend ich versteh ehrlich gesagt garnicht was das mit meiner Aufgabe zu tun haben sol.
Die Ergebenisse ind
[mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}-1 [/mm] = -16180
[mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}- [/mm] 1 = 1.6180
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Hallo,
du sollst das natürlich exakt ausrechnen, nicht mit Dezimalzahlen!
[mm] $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 [/mm] - 1 = [mm] \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} [/mm] - 1 = [mm] \frac{1+\sqrt{5}}{2}...$
[/mm]
Nun schau mal auf die Terme, die du bei dir stehen hast (siehe 2. Post von dir in diesem Thread).
Viele Grüße,
Stefan
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Achso!
Dann ist
[mm] 1+\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] = [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2}
[/mm]
Danke jetzt hab ichs!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Sa 12.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
das ist doch 'ne gute Gelegenheit, den Taschenrechner wegzuschmeißen, findest Du nicht? 
Grüße
rev
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