Fibonacci Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 So 06.05.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | [mm] \summe_{}^{}c_n*z^n [/mm]
[mm] c_n: [/mm] Fibonaccizahlen |
Kann ich hier jetzt einfach mit Taylor die Potenzreihenentwicklung bestimmen oder gibt es einen anderen Trick?
Das n sollte von 0 bis [mm] \infty [/mm] laufen oder?
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Du weißt doch, dass man die Fibonacci-Zahlen mit Hilfe ihrer Vorgänger errechnet: [mm] F_{n+2}=F_{n+1}+F_n, [/mm] falls n>1.
Wenn du [mm] z^2*F_n-z*F_{n+1}-F_{n+2} [/mm] bildest, bekommst du ...?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 06.05.2012 | | Autor: | kalifat |
Ich erkenne es nicht.
In welchen Punkt wird denn überhaupt entwickelt? Dann könnte man es mit Taylor versuchen.
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$ [mm] c_n: [/mm] $ Fibonaccizahlen
A(z)=$ [mm] \summe_{0}^{\infty}c_n\cdot{}z^n [/mm] $= [mm] c_0+c_1z+\summe_{2}^{\infty}c_n\cdot{}z^n [/mm] $ = [mm] c_0+c_1z+\summe_{0}^{\infty}c_{n+2}\cdot{}z^{n+2} [/mm] $
zA(z)=$ [mm] \summe_{0}^{\infty}c_n\cdot{}z^{n+1} [/mm] $= [mm] c_0z+\summe_{1}^{\infty}c_n\cdot{}z^{n+1} [/mm] $ = [mm] c_0z+\summe_{0}^{\infty}c_{n+1}\cdot{}z^{n+2} [/mm] $
[mm] z^2 [/mm] A(z)=$ [mm] \summe_{0}^{\infty}c_n\cdot{}z^{n+2} [/mm] $
[mm] A(z)-zA(z)-z^2 A(z)=c_0+c_1z+\summe_{0}^{\infty}c_{n+2}\cdot{}z^{n+2} [/mm] - [mm] c_0z-\summe_{0}^{\infty}c_{n+1}\cdot{}z^{n+2} -\summe_{0}^{\infty}c_n\cdot{}z^{n+2} [/mm]
[mm] A(z)(1-z-z^2)=c_0+c_1z-c_0z+\summe_{0}^{\infty}(c_{n+2}-c_{n+1}-c_n)\cdot{}z^{n+2} [/mm]
[mm] A(z)(1-z-z^2)=c_0+c_1z-c_0z+\summe_{0}^{\infty}0\cdot{}z^{n+2} [/mm] = [mm] c_0+c_1z-c_0z
[/mm]
A(z)= [mm] \bruch{c_0+c_1z-c_0z}{1-z-z^2}= \bruch{z}{1-z-z^2}
[/mm]
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